Continuïtat uniforme

En anàlisi matemàtica una funció $f (x)$ es diu que és uniformement contínua si petits canvis en el valor de $x$ produeixen petits canvis en el valor de la funció (continuïtat) i la grandària dels canvis en $f (x)$ depèn únicament de la grandària dels canvis en $x$ però no del valor de $x$ (uniforme).

Definició

Donats dos espais mètrics $(X, d_{X})$ i $(Y, d_{Y})$ , i $M \subseteq X$ llavors una funció $f : M \to Y$ es diu uniformement contínua en $M$ si per a qualsevol nombre real $ε > 0$ existeix $δ > 0$ tal que $d_{X} (x_{1}, x_{2}) < δ$ , implica que $d_{Y} (f (x_{1}), f (x_{2})) < ε$ per a tot $x_{1}, x_{2} \in M$ .

$\forall ε > 0 \exists δ > 0 \forall x_{1}, x_{2} \in ℝ : d_{X} (x_{1}, x_{2}) < δ ⟹ d_{X} (f (x_{1}), f (x_{2})) < ε$

Una funció $f : ℝ \to ℝ$ és uniformement contínua en un interval $A$ si per a tot $ε > 0$ existeix algun $δ > 0$ tal que per a tot $x, y \in A$ es compleix que si $| x - y | < δ$ , llavors $| f (x) - f (y) | < ε$ .^[1]^[2]

A diferència de la continuïtat, on el valor de $δ$ depèn del punt $x$ , en les funcions uniformement contínues, no.

Notem que el concepte de continuïtat uniforme fa referència sempre a un conjunt de punts. Que una funció sigui uniformement contínua en un conjunt o no depèn tant de la funció com del conjunt. La funció $f (x) = \ln x$ no és uniformement contínua a $(0, + \infty)$ , però sí que ho és a $[1, 10]$ .

Exemples

La funció $\frac{1}{x}$ amb $x > 0$ és contínua però no uniformement contínua.
La funció $x$ és uniformement contínua en l'interval [0,1].
Tot polinomi $p : ℂ \to ℝ$ de grau major o igual que u és uniformement continu en un interval tancat.

Resultats

De la definició es dedueix que tota funció uniformement contínua és contínua. El contrari (tota funció contínua és uniformement contínua) no és cert.

Exemple: Si $x \in ℝ^{+}$ i $f (x) = \frac{1}{x}$ . $f (x)$ és contínua i no és uniformement contínua. No obstant això, es verifica que:

"Si $M$ és un espai mètric compacte i $Y$ un espai mètric, llavors tota funció contínua $f : M \to Y$ és uniformement contínua. En particular, tota funció contínua sobre un interval tancat i fitat és uniformement contínua en aquest interval." (Teorema de Heine-Cantor)

Si ${x_{n}}$ és una successió de Cauchy continguda en el domini de $f$ (no necessàriament convergent) i $f$ és una funció uniformement contínua, llavors ${f (x_{n})}$ també és una successió de Cauchy.
Tota funció Lipschitz contínua és uniformement contínua.

Notes i referències

↑ Spivak, Michael. Cálculo infinitesimal. 2a edició. Reverté, 1992. ISBN 84-7739-518-7.
↑ Perelló, Carles. Càlcul infinitesimal : amb mètodes numèrics i aplicacions. Barcelona: Enciclopèdia Catalana, 1994. ISBN 84-7739-518-7.

[1] Spivak, Michael. Cálculo infinitesimal. 2a edició. Reverté, 1992. ISBN 84-7739-518-7.

[2] Perelló, Carles. Càlcul infinitesimal : amb mètodes numèrics i aplicacions. Barcelona: Enciclopèdia Catalana, 1994. ISBN 84-7739-518-7.

[1]

[2]