Semblança

Es diu que entre dos objectes hi ha una relació de semblança si es pot establir una relació entre els punts d'un dels objectes i els punts de l'altre de forma que la distància entre qualsevol parell de punts després de la transformació sigui la mateixa d'abans multiplicada per una constant.^[1] En altres paraules, hi ha semblança quan la forma és la mateixa i la mida és diferent.^[2]

Definició

De manera més formal,

si $x$ i $y$ són elements d'un espai mètric M i

la funció $d (M, M) \to ℜ$ és la distància en $M$

i per a dos subconjunts de M, $A_{1}, A_{2}$ existeix una funció bijectiva $f (A_{1}) \to A_{2}$ tal que

d (f (x), f (y)) = c \times d (x, y)

Per a tot x,y de, $A_{1}$ i per algun c de $ℝ$ ,

llavors els conjunts $A_{1}$ i $A_{2}$ són semblants.

De la funció $y = f (x)$ que aplicada a tots els elements de $A_{1}$ genera $A_{2}$ es diu que és una relació de semblança

Composició de relacions de semblança

La composició de dues relacions de semblança és també una relació de semblança, ja que:

Si $d (f (x), f (y)) = c_{1} \times d (x, y)$ i $d (g (x), g (y)) = c_{2} \times d (x, y)$ Llavors :

\begin{matrix} d [(f \circ g) (x), f \circ g (y)] = d [f (g (x)), f (g (y))] \\ = c_{1} \times d [g (x), g (y)] = (c_{1} \times c_{2}) \times d (x, y) \end{matrix}

Cas de l'espai euclidià

En el cas de l'espai euclidià la distància entre dos punts $x = (\begin{matrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \end{matrix})$ i $y = (\begin{matrix} y_{1} & y_{2} & y_{3} \end{matrix})$ és:

d (x, y) = \sqrt{{(x_{1} - y_{1})}^{2} + {(x_{2} - y_{2})}^{2} + {(x_{3} - y_{3})}^{2}}

Amb aquesta distància, les translacions, les rotacions, les simetries i les homotècies són relacions de semblança. Per tant, qualsevol composició de funcions d'aquest tipus també és una relació de semblança. Per veure-ho n'hi ha prou en aplicar la definició de distància a la transformació de dos punts qualsevol per cada una d'aquestes funcions.

Translació.

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = ((x_{1} + t_{1}), (x_{2} + t_{2}), (x_{3} + t_{3}))

Rotació entorn a l'eix 3 (sense pèrdua de generalitat perquè sempre es pot fer un canvi de sistema de coordenades perquè qualsevol rotació es pugui fer entorn de l'eix 3.

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = ((x_{1} \cos θ - x_{2} s i n θ), (x_{1} s i n θ + x_{2} \cos θ), x_{3})

Simetria respecte al pla $x_{3} = 0$ (també sense pèrdua de generalitat pel mateix motiu).

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1}, x_{2}, - x_{3})

Homotècia.

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (t \times x_{1}, t \times x_{2}, t \times x_{3})

Triangles semblants

En un espai dos triangles són semblants si i només si els seus angles són iguals.^[2] De fet com que els tres angles (en l'espai euclidià) sumen sempre 180°, n'hi ha prou amb dir que dos dels seus angles siguin iguals. Un cas particular d'això és el teorema de Tales.^[3]

Cal tenir en compte que si l'espai no és euclidià això no és veritat. De fet comprovar qualsevol d'aquestes afirmacions (suma dels angles del triangle o semblança de triangles amb igualtat d'angles) és una forma per verificar si l'espai físic és euclidià o no.

Auto semblança

Es diu que un conjunt és auto semblant si hi ha una relació de semblança amb si mateix diferent de la trivial (on $c \neq 1$ )

Relació entre àrees i volums

La raó entre les àrees de figures semblants és igual al quadrat de la raó entre les longituds corresponents d'aquestes figures (per exemple, quan el costat d'un quadrat o el radi d'un cercle es multiplica per tres, la seva àrea es multiplica per nou, és a dir, per tres al quadrat). Les altures de triangles semblants tenen la mateixa raó que els costats corresponents. Si un triangle té un costat de longitud $b$ i una altura relativa a aquest costat de longitud $h$ , aleshores un triangle semblant amb el costat corresponent de longitud $kb$ tindrà una altura relativa a aquest costat de longitud $kh$ . L'àrea del primer triangle és $A = \frac{1}{2} b h,$ mentre que l'àrea del triangle semblant serà $A^{'} = \frac{1}{2} \cdot k b \cdot k h = k^{2} A .$ Les figures semblants que es poden descompondre en triangles semblants tenen àrees relacionades de la mateixa manera. La relació també es compleix per a les figures que no són rectificables.

La raó entre els volums de figures semblants és igual al cub de la raó entre les longituds corresponents d'aquestes figures (per exemple, quan l'aresta d'un cub o el radi d'una esfera es multiplica per tres, el seu volum es multiplica per 27, és a dir, per tres al cub).

La llei del quadrat-cub de Galileu tracta dels sòlids semblants. Si la raó de semblança (la raó entre els costats corresponents) dels sòlids és $k$ , aleshores la raó entre les àrees de les superfícies dels sòlids serà $k 2$ , mentre que la raó entre els volums serà $k 3$ .

Semblança amb centre

Exemples de semblances directes, cadascuna de les quals té un centre.

Si una semblança té exactament un punt invariant, és a dir, un punt que la semblança deixa inalterat, aquest únic punt s'anomena centre de la semblança.

A la primera imatge sota el títol, a l'esquerra, una semblança o una altra redueix un polígon regular a un altre de concèntric, cadascun dels vèrtexs del qual es troba en un costat del polígon anterior. Aquesta reducció amb rotació es repeteix, de manera que el polígon inicial s'estén en una estructura recursiva de polígons regulars. El centre de la semblança és el centre comú dels polígons successius. Un segment vermell uneix un vèrtex del polígon inicial amb la seva imatge per la semblança, seguit d'un segment vermell que arriba a la imatge següent del vèrtex, i així successivament fins a formar una espiral. De fet, en aquesta primera imatge es poden veure més de tres semblances directes, perquè cada polígon regular és invariant sota certes semblances directes, més concretament certes rotacions el centre de les quals és el centre del polígon, i perquè una composició de semblances directes també és una semblança directa. Per exemple, s'hi veu la imatge del pentàgon regular inicial per una homotècia de raó negativa $-k$ , que és una semblança d'angle ±180° i de raó positiva igual a $k$ .

Sota el títol, a la dreta, la segona imatge mostra una semblança descomposta en una rotació i una homotècia. La semblança i la rotació tenen el mateix angle de +135 graus mòdul 360 graus. La semblança i l'homotècia tenen la mateixa raó, $\frac{\sqrt{2}}{2},$ inversa multiplicativa de la raó $\sqrt{2}$ (arrel quadrada de 2) de la semblança inversa. El punt $S$ és el centre comú de les tres transformacions: la rotació, l'homotècia i la semblança. Per exemple, el punt $W$ és la imatge de $F$ per la rotació i el punt $T$ és la imatge de $W$ per l'homotècia; més breument, $T = H (W) = (R (F)) = (H \circ R) (F) = D (F),$ anomenant $R$ , $H$ i $D$ la rotació, l'homotècia i la semblança anteriors, respectivament, amb « $D$ » de «directa».

Aquesta semblança directa, que transforma el triangle $△ EFA$ en el triangle $△ ATB$ , es pot descompondre de diverses maneres en una rotació i una homotècia amb el mateix centre $S$ . Per exemple, $D = R ○ H = H ○ R$ , tot i que a la imatge només es representa la darrera descomposició. Per obtenir $D$ també es poden compondre, en qualsevol ordre, una rotació d'angle −45° i una homotècia de raó $\frac{- \sqrt{2}}{2} .$

Amb « $M$ » de «mirall» i « $I$ » d'«indirecta», si $M$ és la reflexió respecte de la recta $CW$ , aleshores $M ○ D = I$ és la semblança indirecta que transforma el segment $BF$ , com $D$ , en el segment $CT$ , però transforma el punt $E$ en $B$ i el punt $A$ en si mateix. El quadrat $ACBT$ és la imatge de $ABEF$ per la semblança $I$ , de raó $\frac{1}{\sqrt{2}} .$ El punt $A$ és el centre d'aquesta semblança perquè qualsevol punt $K$ que en sigui invariant compleix $A K = \frac{A K}{\sqrt{2}},$ cosa que només és possible si $AK = 0$ , o, escrit d'una altra manera, $A = K$ .

Com es pot construir el centre $S$ de la semblança directa $D$ a partir del quadrat $ABEF$ ? Com es pot trobar el punt $S$ , centre d'una rotació d'angle +135° que transforma la semirecta $\overset{}{\vec{S E}}$ en la semirecta $\overset{}{\vec{S A}}$ ? És un problema d'angle inscrit i també una qüestió d'orientació. El conjunt de punts $P$ tals que $\hat{(\vec{P E}, \vec{P A})} = + 13 5^{\circ}$ és un arc de circumferència $\overset{⌢}{E A}$ que uneix $E$ i $A$ , els dos radis del qual que arriben a $E$ i $A$ formen un angle central de $2(180° - 135°) = 2 \times 45° = 90°$ . Aquest conjunt de punts és el quadrant blau de centre $F$ situat dins del quadrat $ABEF$ . De la mateixa manera, el punt $S$ pertany al quadrant blau de centre $T$ situat dins del quadrat $BCAT$ . Per tant, el punt $S$ és el punt d'intersecció d'aquests dos quadrants.

En espais mètrics generals

Una aplicació bijectiva $f : M \to N$ entre espais mètrics s'anomena semblança si $d (f (x), f (y)) = c \cdot d (x, y)$ per a tots els $x, y \in M$ , on $c > 0$ .^[4]

En versions més febles de la semblança, per exemple, $f$ pot ser una funció bi-Lipschitz i l'escalar $r$ pot ser un límit^{[cal citació]}

$lim \frac{d (f (x), f (y))}{d (x, y)} = r .$

Aquesta versió més feble és aplicable quan la mètrica és una resistència efectiva en un conjunt topològicament autosimilar.

Un subconjunt autosimilar d'un espai mètric $(X, d)$ és un conjunt $K$ per al qual existeix un conjunt finit de semblances ${f_{s}}_{s \in S}$ amb factors de contracció $0 \leq r_{s} < 1$ , de manera que $K$ és l'únic subconjunt compacte de $X$ per al qual

$⋃_{s \in S} f_{s} (K) = K .$

Aquests conjunts autosimilars tenen una mesura autosimilar $μ D$ amb una dimensió $D$ donada per la fórmula

$\sum_{s \in S} (r_{s})^{D} = 1$

que sovint (però no sempre) és igual a la dimensió de Hausdorff-Bezikóvitx i a la dimensió d'empaquetament. Si els encavalcaments entre els $f_{s} (K)$ són «petits», s'obté la fórmula senzilla següent per a la mesura:

$μ^{D} (f_{s_{1}} \circ f_{s_{2}} \circ \dots \circ f_{s_{n}} (K)) = (r_{s_{1}} \cdot r_{s_{2}} \dots r_{s_{n}})^{D} .$

Referències

↑ «Semblança». Diccionari General de la Llengua Catalana. Institut d'Estudis Catalans. [Consulta: 22 octubre 2026].
1 2 Corbalán Yuste, F. et al.. Gamma 2 : matemàtiques : Educació Secundària, segon curs. Barcelona: Vicens Vives, 2003, p. 128. ISBN 84-316-6978-2.
↑ «teorema de Tales». Gran Enciclopèdia Catalana. Arxivat de l'original el 2025-09-30. [Consulta: 30 octubre 2026].
↑ ; Sieklucki, K. Topology. A geometric approach. Heldermann Verlag, 1992, p. 28. ISBN 3-88538-004-8.

Bibliografia

Henderson, David W.; Taimiņa, Daina. Experiencing Geometry/Euclidean and Non-Euclidean with History. 3a. Pearson Prentice-Hall, 2005. ISBN 978-0-13-143748-7.
Jacobs, Harold R. Geometry. W. H. Freeman and Co., 1974. ISBN 0-7167-0456-0.
Pedoe, Dan. Geometry/A Comprehensive Course. Dover, 1988. ISBN 0-486-65812-0.
Sibley, Thomas Q. The Geometric Viewpoint/A Survey of Geometries. Addison-Wesley, 1998. ISBN 978-0-201-87450-1.
Smart, James R. Modern Geometries. 5a. Brooks/Cole, 1998. ISBN 0-534-35188-3.
Stahl, Saul. Geometry/From Euclid to Knots. Prentice-Hall, 2003. ISBN 978-0-13-032927-1.
Venema, Gerard A. Foundations of Geometry. Pearson Prentice-Hall, 2006. ISBN 978-0-13-143700-5.
Yale, Paul B. Geometry and Symmetry. Holden-Day, 1968.

Bibliografia complementària

Cederberg, Judith N. «Chapter 3.12: Similarity Transformations». A: A Course in Modern Geometries. Springer, 2001 [1a. ed. 1989], p. 183–189. ISBN 0-387-98972-2.
Coxeter, H. S. M. (1969) [1961]. «§5 Similarity in the Euclidean Plane», pàg. 67–76; «§7 Isometry and Similarity in Euclidean Space», pàg. 96–104. Introduction to Geometry. John Wiley & Sons.
Ewald, Günter. Geometry: An Introduction. Wadsworth Publishing, 1971, p. 106, 181.
Martin, George E. «Chapter 13: Similarities in the Plane». A: Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry. Springer, 1982, p. 136–146. ISBN 0-387-90636-3.

Vegeu també

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Semblança

Teorema de Tales

[DIEC-1] «Semblança». Diccionari General de la Llengua Catalana. Institut d'Estudis Catalans. [Consulta: 22 octubre 2026].

[gamma2-2] 1 2 Corbalán Yuste, F. et al.. Gamma 2 : matemàtiques : Educació Secundària, segon curs. Barcelona: Vicens Vives, 2003, p. 128. ISBN 84-316-6978-2.

[3] «teorema de Tales». Gran Enciclopèdia Catalana. Arxivat de l'original el 2025-09-30. [Consulta: 30 octubre 2026].

[Engelking-Sieklucki-1992-4] ; Sieklucki, K. Topology. A geometric approach. Heldermann Verlag, 1992, p. 28. ISBN 3-88538-004-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

Registres d'autoritat	NKC (1)
Bases d'informació	Britannica (1)