Unió

La unió és una operació entre conjunts. Aquesta operació crea el conjunt, anomenat conjunt unió o conjunt reunió, format pels elements que pertanyen almenys a un dels conjunts que s'uneixen. S'expressa amb el símbol $\cup$ .^[1]^[2]^[3]

Per exemple:

Donat

A = {a, e, i, s}

i

B = {a, e, f, h}

, si definim $C = A \cup B$ , llavors

C = {a, e, i, s, f, h}

. $C = A \cup B$ es llegeix: el conjunt C és igual a la unió dels conjunts A i B. També es pot llegir: C és el conjunt unió dels conjunts A i B.

Propietats de la unió

Propietat idempotent

Quan unim un conjunt amb si mateix, el conjunt unió és el mateix conjunt.^[4]

A \cup A = A

Element neutre

El conjunt buit $∅︀$ és l'element neutre de la unió.

A \cup ∅︀ = A

Propietat commutativa

El conjunt unió resultant és indiferent a l'ordre amb què s'uneixen els conjunts.^[5]

A \cup B = B \cup A

Propietat associativa

El conjunt unió resultant quan unim més de dos conjunts, és indiferent a la jerarquia amb què es facin les unions.

A \cup B \cup C = (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)

Unió de complementaris

Si tenim un conjunt $A$ i el seu complementari $\overline{A}$ , respecte d'un conjunt $R$ , $R$ és el conjunt unió de $A$ i $\overline{A}$ .

A \cup \overline{A} = R

Unió de subconjunts

Si unim un conjunt A amb un subconjunt B, el conjunt unió és A.

Si tenim els conjunts A i B tal que

A \supset B

(A inclou B), llavors

A \cup B = A

Relacions entre la unió i la intersecció: propietat distributiva

La unió i la intersecció es poden relacionar mitjançant la propietat distributiva. Existeixen dues possibles versions d'aquesta propietat.

La unió d'un conjunt amb un conjunt intersecció és igual a unir el primer conjunt amb els diferents conjunts que formen el conjunt intersecció, i fer la intersecció entre tots els conjunts unió resultants. És molt més entenedor escrit simbòlicament:

A \cup (B \cap C \cap D ...) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \cap (A \cup D)

...

També es pot aplicar aquesta propietat intercanviant les interseccions i les unions:

A \cap (B \cup C \cup D ...) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (A \cap D)

...

Referències

↑ «Union Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)». [Consulta: 18 gener 2022].
↑ «Union». [Consulta: 18 gener 2022].
↑ pensante, El. «Operación de Unión (Álgebra de conjuntos) – El pensante» (en castellà). [Consulta: 18 gener 2022].
↑ «Union of sets – Definition and Examples» (en anglès). [Consulta: 18 gener 2022].
↑ «What Is a Union in Mathematics?» (en anglès). [Consulta: 18 gener 2022].

Vegeu també

Teoria de conjunts

Enllaços externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Unió

Union of Sets. Math Goodies (anglès)

Viccionari

[1] «Union Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)». [Consulta: 18 gener 2022].

[2] «Union». [Consulta: 18 gener 2022].

[3] sante, El. «Operación de Unión (Álgebra de conjuntos) – El pensante» (en castellà). [Consulta: 18 gener 2022].

[4] «Union of sets – Definition and Examples» (en anglès). [Consulta: 18 gener 2022].

[5] «What Is a Union in Mathematics?» (en anglès). [Consulta: 18 gener 2022].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]