Integrální transformace

Integrální transformace v matematice jsou ty lineární integrální operátory (lineární zobrazení $T : A \to B$ mezi dvěma prostory funkcí $A, B$ , jež se dají zapsat v podobě integrálu), které mají tvar

(T f) (u) = \int_{Ω} K (t, u) f (t) d t

,

kde $Ω \subset ℝ^{n}$ a $D \subset ℝ^{n}$ jsou otevřené podmnožiny, $K : Ω \times D \to ℂ$ je měřitelná funkce označovaná v tomto kontextu jako jádro transformace, $f (t)$ je libovolná funkce z prostoru $A$ a $(T f) (x)$ je její obraz, tedy funkce z prostoru $B$ .

Příklady integrálních transformací jsou Fourierova, Laplaceova nebo vlnková transformace.

K integrální transformaci může (ale obecně nemusí) existovat inverzní transformace, převádějící obraz z prostoru $B$ zpět na vzor z prostoru $A$ . Pokud existuje, dá se vyjádřit rovněž jako integrální operátor, ale s obecně odlišným (tzv. inverzním) jádrem $K^{- 1}$ a oborem integrace $Ω^{'}$ .

Přehled některých často používaných transformací:

Transformace	Symbol	$K$	$Ω$	$K^{- 1}$	$Ω^{'}$
Spojitá Fourierova transformace	$ℱ$	$\frac{e^{- i u \cdot t}}{(2 π)^{n / 2}}$	$ℝ^{n}$	$\frac{e^{+ i u \cdot t}}{(2 π)^{n / 2}}$	$ℝ^{n}$
Hartleyova transformace	$ℋ$	$\frac{\cos (u t) + \sin (u t)}{\sqrt{2 π}}$	$ℝ$	$\frac{\cos (u t) + \sin (u t)}{\sqrt{2 π}}$	$ℝ$
Mellinova transformace	$ℳ$	$t^{u - 1}$	$(0, + \infty)$	$\frac{t^{- u}}{2 π i}$	$c + i ℝ$
Dvojstranná Laplaceova transformace	$ℬ$	$e^{- u t}$	$ℝ$	$\frac{e^{+ u t}}{2 π i}$	$c + i ℝ$
Laplaceova transformace	$ℒ$	$e^{- u t}$	$(0, + \infty)$	$\frac{e^{+ u t}}{2 π i}$	$c + i ℝ$
Weierstrassova transformace	$𝒲$	$\frac{e^{- (u - t)^{2} / 4}}{\sqrt{4 π}}$	$ℝ$	$\frac{e^{+ (u - t)^{2} / 4}}{i \sqrt{4 π}}$	$c + i ℝ$
Abelova transformace	$F, f$	$\frac{2 t}{\sqrt{t^{2} - u^{2}}} χ_{(u, \infty)} (t)$	$ℝ$	$\frac{- 1}{π \sqrt{u^{2} - t^{2}}} χ_{(t, \infty)} (u) \frac{d}{d u}$	$ℝ$
Hilbertova transformace	$ℋ i l$ , $ℋ$	$\frac{1}{π} \frac{1}{u - t}$	$ℝ$	$\frac{1}{π} \frac{1}{u - t}$	$ℝ$
Hankelova transformace s jádrem obsahujícím $J_{ν} (u t)$ , Besselovu funkci prvního druhu a řádu ν	$ℋ_{ν}$	$t J_{ν} (u t)$	$(0, + \infty)$	$u J_{ν} (u t)$	$(0, + \infty)$
Stieltjesova transformace	$𝒮$	$\frac{1}{u + t}$	$(0, + \infty)$
Vlnková transformace (funkce $ψ$ je tzv. mateřská vlnka)	$W_{ψ}$	$\frac{1}{\sqrt{a}} ψ^{*} (\frac{t - b}{a})$	$ℝ$

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu integrální transformace na Wikimedia Commons