CAR-Algebra

Die CAR-Algebra ist eine im mathematischen Gebiet der Funktionalanalysis betrachtete Algebra. Es handelt sich um eine C*-Algebra, die eng mit den in der Quantenmechanik untersuchten kanonischen Antivertauschungsrelationen (engl. canonical anticommutation relation, daher der Name CAR) verbunden ist und daher auch Fermionenalgebra genannt wird.

Konstruktion

Bezeichnet $M_{n}$ die C*-Algebra der komplexen $n \times n$ -Matrizen, so kann man $M_{2^{n}}$ vermöge des isometrischen *-Homomorphismus

M_{2^{n}} \to M_{2^{n + 1}}, X \mapsto (\begin{matrix} X & 0 \\ 0 & X \end{matrix})

als Unteralgebra von $M_{2^{n + 1}}$ auffassen. Auf der Vereinigung aller so ineinander liegenden Matrizenalgebren hat man dann eine Norm, die jede der C*-Normen auf $M_{2^{n}}$ fortsetzt und daher bis auf die Vollständigkeit alle Eigenschaften einer C*-Norm hat. Die Vervollständigung ist dann eine C*-Algebra, die man die CAR-Algebra nennt.

Kanonische Antivertauschungsrelationen

Es seien $H$ ein separabler Hilbertraum und $α : H \to L (H)$ eine lineare Abbildung in die C*-Algebra $L (H)$ der stetigen, linearen Operatoren auf $H$ mit folgenden Eigenschaften:

α (x) α (y) + α (y) α (x) = 0

$α (x) α (y)^{*} + α (y)^{*} α (x) = ⟨ x, y ⟩ {i d}_{H}$

für alle Vektoren $x, y \in H$ .

Man sagt, $α$ erfülle die kanonischen Antivertauschungsrelationen; diese werden von den in der Quantenmechanik betrachteten Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Fermionen erfüllt. Solche Abbildungen $α$ lassen sich beispielsweise auf dem Fockraum realisieren. Die Isomorphieklasse der von den Operatoren $α (x)$ erzeugten C*-Algebra erweist sich als unabhängig von der speziellen Auswahl der Abbildung $α$ , denn es gilt:^[1]

Die von allen Operatoren $α (x), x \in H$ erzeugte C*-Algebra ist isomorph zur CAR-Algebra.

Ist $(x_{n})_{n \in ℕ}$ eine Orthonormalbasis von $H$ , so kann die Einbettung $C^{*} (α (x_{1}), \dots, α (x_{n})) \subset C^{*} (α (x_{1}), \dots, α (x_{n + 1}))$ mit obiger Einbettung $M_{2^{n}} \to M_{2^{n + 1}}$ identifiziert werden ( $C^{*} (\dots)$ steht hier für die von in den Klammern aufgelisteten Operatoren erzeugte C*-Algebra).

Als UHF-Algebra und AF-Algebra

Ihrer Konstruktion nach ist die CAR-Algebra eine UHF-Algebra, und zwar diejenige zur übernatürlichen Zahl $2^{\infty}$ (siehe dazu den Artikel UHF-Algebra). Als UHF-Algebra ist sie auch eine AF-C*-Algebra und daher unter allen AF-C*-Algebren durch ihre geordnete skalierte $K_{0}$ -Gruppe ausgezeichnet. Diese ist $ℤ [\frac{1}{2}]$ mit der durch [0,1] gegebenen Skala^[2]. $ℤ [\frac{1}{2}]$ steht dabei für die Menge aller rationalen Zahlen, deren Nenner eine Zweierpotenz ist.

Produktzustände und Typ III-Faktoren

Zu jedem $λ \in [0, 1]$ kann man rekursiv Zustände $φ_{λ}^{(n)} : M_{2^{n}} \to ℂ$ definieren, wobei

$φ_{λ}^{(0)} : M_{2^{0}} ≅ ℂ \to ℂ$ die identische Abbildung sei und
$φ_{λ}^{(n)} (x) = λ φ_{λ}^{(n - 1)} (x_{1, 1}) + (1 - λ) φ_{λ}^{(n - 1)} (x_{2, 2})$ für jedes $n > 0$ , wobei $x = (x_{i, j})$ als $2 \times 2$ -Matrix mit Elementen aus $M_{2^{n - 1}}$ geschrieben ist.

Dann ist die Einschränkung von $φ_{λ}^{(n)}$ auf $M_{2^{n - 1}}$ gleich $φ_{λ}^{(n - 1)}$ , denn gemäß der hier betrachteten Einbettung von $M_{2^{n - 1}}$ nach $M_{2^{n}}$ ist

(φ_{λ}^{(n)} |_{M_{2^{n - 1}}}) (x) = φ_{λ}^{(n)} ((\begin{matrix} x & 0 \\ 0 & x \end{matrix})) = λ φ_{λ}^{(n - 1)} (x) + (1 - λ) φ_{λ}^{(n - 1)} (x) = φ_{λ}^{(n - 1)} (x)

.

Daher gibt es auf der CAR-Algebra einen eindeutigen Zustand $φ_{λ}$ , der auf allen $M_{2^{n}}$ mit $φ_{λ}^{(n)}$ übereinstimmt. Dieser heißt der zu $λ$ gehörige Produktzustand. Die Bezeichnung Produktzustand rührt daher, dass man ihn auch über Tensorprodukt-Konstruktionen gewinnen kann, was hier aber nicht ausgeführt wird. Nach J. Glimm lassen sich mittels dieser Zustände wie folgt Faktoren vom Typ III konstruieren.

Zum Zustand $φ_{λ}$ gehört mittels GNS-Konstruktion eine Hilbertraum-Darstellung $π_{λ} : A \to L (H_{λ})$ auf einem Hilbertraum $H_{λ}$ . Für $0 < λ < \frac{1}{2}$ ist das Bild $π_{λ} (A) \subset L (H_{λ})$ eine C*-Algebra, deren Abschluss in der schwachen Operatortopologie ein Faktor vom Typ III ist.^[3] Je zwei solche Faktoren zu verschiedenen Zahlen aus dem offenen Intervall $(0, \frac{1}{2})$ sind nicht isomorph.^[4]

GICAR-Algebra

Sei $α : H \to L (H)$ eine Abbildung, die den oben definierten kanonischen Antivertauschungsrelationen genügt. Ist $μ \in ℂ$ mit $| μ | = 1$ , so erfüllt auch $β : H \to L (H), x \mapsto α (μ x)$ die kanonischen Antivertauschungsrelationen, wie man leicht nachrechnen kann. Da die von den $α (x)$ bzw. von den $β (x)$ erzeugte C*-Algebra, wobei $x$ den Hilbertraum durchläuft, in beiden Fällen die CAR-Algebra $A$ ist, kann man zeigen, dass man einen Automorphismus $σ_{μ} : A \to A$ erhält, den man Eichautomorphismus nennt.

Die C*-Unteralgebra derjenigen Elemente von $A$ , die unter allen Eichautomorphismen $σ_{μ}, | μ | = 1$ invariant sind, heißt GICAR-Algebra. Dabei steht GI für gauge-invariant (deutsch: eich-invariant). Man kann zeigen, dass die GICAR-Algebra eine AF-C*-Algebra ist. Während die CAR-Algebra einfach ist, das heißt, sie hat keine nicht-trivialen zweiseitigen Ideale, hat die GICAR-Algebra eine reiche Idealstruktur, die man an ihrem Bratteli-Diagramm ablesen kann. Dieses hat die Form des Pascalschen Dreiecks^[5]:

\begin{matrix} 1 \\ ↗ \\ 1 & \dots \\ ↗ & ↘ \\ 1 & 3 \\ ↗ & ↘ & ↗ \\ 1 & 2 & \dots \\ ↘ & ↗ & ↘ \\ 1 & 3 \\ ↘ & ↗ \\ 1 & \dots \\ ↘ \\ 1 \end{matrix}

Einzelnachweise

↑ K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Example III.5.4.
↑ K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Example IV.3.4.
↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups. Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Theorem 6.5.15.
↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups. Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Theorem 8.15.13.
↑ K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1: Example III.5.5.

[1] K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Example III.5.4.

[2] K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Example IV.3.4.

[3] Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups. Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Theorem 6.5.15.

[4] Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups. Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Theorem 8.15.13.

[5] K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1: Example III.5.5.

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