Interquartilsabstand (deskriptive Statistik)

Der Interquartilsabstand,^[1] auch kurz Quartilsabstand genannt^[2] und mit IQA^[1] oder IQR (nach der englischen Bezeichnung interquartile range)^[3] abgekürzt, ist ein Streuungsmaß in der deskriptiven Statistik. Sortiert man eine Stichprobe der Größe nach, so gibt der Interquartilsabstand an, wie breit das Intervall ist, in dem die mittleren 50 % der Stichprobeelemente liegen.

Definition

Gegeben sei eine Stichprobe $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ mit $n$ Elementen, die der Größe nach sortiert sind. Es gilt also $x_{1} \leq x_{2} \leq \dots \leq x_{n}$ .

Des Weiteren sei $x_{0,25}$ das untere Quartil und $x_{0,75}$ das obere Quartil. Diese sind definiert als

x_{0,25} = {\begin{matrix} \frac{1}{2} (x_{n \cdot 0,25} + x_{n \cdot 0,25 + 1}), & wenn n \cdot 0,25 ganzzahlig, \\ x_{⌊ n \cdot 0,25 + 1 ⌋}, & wenn n \cdot 0,25 nicht ganzzahlig. \end{matrix}

x_{0,75} = {\begin{matrix} \frac{1}{2} (x_{n \cdot 0,75} + x_{n \cdot 0,75 + 1}), & wenn n \cdot 0,75 ganzzahlig, \\ x_{⌊ n \cdot 0,75 + 1 ⌋}, & wenn n \cdot 0,75 nicht ganzzahlig. \end{matrix}

.

Hierbei bezeichnet $⌊ x ⌋$ die Abrundungsfunktion. Sie rundet jede Zahl $x$ auf die nächste ganze Zahl ab. Es gilt also beispielsweise $⌊ 1,2 ⌋ = 1$ und $⌊ 3,99 ⌋ = 3$ .

Der Interquartilsabstand ist dann definiert als Differenz zwischen dem oberen und dem unteren Quartil:^[1]

IQA = x_{0,75} - x_{0,25}

Beispiel

Betrachte die Stichprobe

25; 28; 4; 28; 19; 3; 9; 17; 29; 29

mit $n = 10$ Elementen. Sortiert man die Elemente der Größe nach, so erhält man

3; 4; 9; 17; 19; 25; 28; 28; 29; 29

.

Zur Bestimmung des unteren Quartils berechnet man $n \cdot 0,25 = 2,5$ , was nicht ganzzahlig ist. Daher ist gemäß der oben angegebenen Definition

x_{0,25} = x_{⌊ n \cdot 0,25 + 1 ⌋} = x_{⌊ 2,5 + 1 ⌋} = x_{⌊ 3,5 ⌋} = x_{3} = 9

.

Analog folgt

x_{0,75} = x_{⌊ n \cdot 0,75 + 1 ⌋} = x_{⌊ 7,5 + 1 ⌋} = x_{⌊ 8,5 ⌋} = x_{8} = 28

.

Damit erhält man für den Interquartilsabstand

IQA = x_{0,75} - x_{0,25} = 28 - 9 = 19

.

Aufbauende Begriffe

Aufbauend auf dem Interquartilsabstand wird der mittlere Quartilsabstand definiert, der mit MQA^[1] oder QD (nach der englischen Bezeichnung quartile deviation)^[4] abgekürzt wird. Er ist definiert als^[1]

MQA = \frac{1}{2} IQA = \frac{1}{2} (x_{0,75} - x_{0,25})

.

Im obigen Beispiel wäre der mittlere Quartilsabstand somit

MQA = \frac{1}{2} \cdot 19 = 9,5

.

Einzelnachweise

1 2 3 4 5 Thomas Cleff: Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse. Eine computergestützte Einführung mit Excel, SPSS und STATA. 3., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-8349-4747-5, S. 54, doi:10.1007/978-3-8349-4748-2.
↑ Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 10. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6, S. 32, doi:10.1007/978-3-658-03077-3.
↑ Eric W. Weisstein: Interquartile Range. In: MathWorld (englisch).
↑ Eric W. Weisstein: Quartile Deviation. In: MathWorld (englisch).

[Cleff54-1] 1 2 3 4 5 Thomas Cleff: Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse. Eine computergestützte Einführung mit Excel, SPSS und STATA. 3., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-8349-4747-5, S. 54, doi:10.1007/978-3-8349-4748-2.

[Henze32-2] Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 10. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6, S. 32, doi:10.1007/978-3-658-03077-3.

[Wolframiqr-3] Eric W. Weisstein: Interquartile Range. In: MathWorld (englisch).

[Wolframqd-4] Eric W. Weisstein: Quartile Deviation. In: MathWorld (englisch).

[1]

[2]

[3]

[4]