Logit

Ein Logit ist in der Statistik der natürliche Logarithmus einer Chance, d. h. der Wahrscheinlichkeit $p$ geteilt durch die Gegenwahrscheinlichkeit $1 - p$ . Unter der Logit-Transformation versteht man die Transformation von Wahrscheinlichkeiten in Logits. Diese wird in der logistischen Regression zur Spezifikation der Kopplungsfunktion verwendet.

Definition

Ein Logit ist der natürliche Logarithmus einer Chance (Wahrscheinlichkeit $p$ durch Gegenwahrscheinlichkeit $1 - p$ , engl. odds) für eine Wahrscheinlichkeit $0 < p < 1$ ^[1], d. h.

logit (p) := \ln (\frac{p}{1 - p}) = \ln (odds (p)) .

Die Funktion $logit : (0, 1) \to ℝ$ heißt Logit-Funktion. Wenn Wahrscheinlichkeiten $p \in (0, 1)$ in $logit (p) \in ℝ$ transformiert werden, spricht man auch von einer Logit-Transformation.

Eigenschaften

Die Logit-Funktion kann auch mit dem Areatangens Hyperbolicus dargestellt werden,

logit (p) = 2 artanh (2 p - 1), 0 < p < 1 .

Es gilt

logit (p) {\begin{matrix} < 0 & für p < 1 / 2 \\ = 0 & für p = 1 / 2 \\ > 0 & für p > 1 / 2 \end{matrix} .

Die Logit-Funktion besitzt die Symmetrieeigenschaft

logit (1 - p) = - logit (p) für alle 0 < p < 1

Die Logit-Funktion ist differenzierbar und hat die Ableitungsfunktion

{logit}^{'} (p) = \frac{1}{p (1 - p)} > 0 für alle 0 < p < 1 .

Die Logit-Funktion ist invertierbar. Die Umkehrfunktion der Logit-Funktion ist die logistische Funktion (manchmal auch Expit oder Sigmoid genannt):

F_{logistisch} (x) := {logit}^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} = \frac{1}{1 + e^{- x}}, x \in ℝ

.

Anwendung

Die Logit-Funktion kann zur Linearisierung von sigmoiden Kurven verwendet werden und hat daher eine große Bedeutung für die Auswertung von ELISA-Kurven in der Biochemie erlangt.

Die Logit-Transformation ist von zentraler Bedeutung für die logistische Regression.

Siehe auch

Probit

Weblinks

Which Link Function — Logit, Probit, or Cloglog? 12.04.2023

Einzelnachweise

↑ Torsten Becker et al.: Stochastische Risikomodellierung und statistische Methoden. Springer Spektrum, 2016. S. 310.

[1] Torsten Becker et al.: Stochastische Risikomodellierung und statistische Methoden. Springer Spektrum, 2016. S. 310.

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