Distribución beta

Beta
	; Función de densidad de probabilidad
	; Función de distribución de probabilidad
Parámetros	α>0 forma (real); β>0 forma (real)
Dominio	x∈(0,1)
Función de densidad (pdf)	xα−1(1−x)β−1B(α,β)
Función de distribución (cdf)	Ix(α,β)
Media	αα+β
Moda	α−1α+β−2 para α>1,β>1
Varianza	αβ(α+β)2(α+β+1)
Coeficiente de simetría	2(β−α)α+β+1(α+β+2)αβ
Función generadora de momentos (mgf)	1+∑n=1∞(∏r=0n−1α+rα+β+r)tnn!
Función característica	1F1(α;α+β;it)
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En teoría de la probabilidad y en estadística, la distribución beta es una familia de distribuciones continuas de probabilidad definidas en el intervalo $(0, 1)$ parametrizada por dos parámetros positivos de forma, denotados por $α$ y $β$ , que aparecen como exponentes de la variable aleatoria y controlan la forma de la distribución.

La generalización de esta distribución a varias variables es conocida como la distribución de Dirichlet.

Definición

Si una variable aleatoria continua $X$ tiene una distribución beta con parámetros $α, β > 0$ entonces escribiremos $X \sim B (α, β)$ .

Otras notaciones para la distribución beta usadas son $X \sim Beta (α, β)$ , $X \sim ℬ ℯ (α, β)$ o $X \sim β_{α, β}$ .

f_{X} (x) = \frac{x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1}}{B (α, β)}

para valores $0 < x < 1$ donde $B (α, β)$ es la función beta y se define para $α, β > 0$ como

B (α, β) = \int_{0}^{1} x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1} d x

y algunas de las propiedades que satisface son:

F_{X} (x) = \frac{B (x; α, β)}{B (α, β)} = I_{x} (α, β)

Si $X \sim B (α, β)$ entonces la variable aleatoria $X$ satisface algunas propiedades.

E [X] = \frac{α}{α + β}

Var (X) = \frac{α β}{(α + β + 1) (α + β)^{2}}

.

\frac{α - 1}{α + β - 2}

para valores de $α, β > 1$ .

El $n$ -ésimo momento de $X$ es

\begin{matrix} E [X^{n}] & = \frac{B (α + n, β)}{B (α + β)} \\ = \prod_{r = 0}^{n - 1} \frac{α + r}{α + β + r} \\ = \frac{α (α + 1) \dots (α + n - 1)}{(α + β) (α + β + 1) \dots (α + β + n - 1)} \end{matrix}

para $n \in ℕ$ .

\begin{matrix} M_{X} (t) & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{t^{n}}{n!} \frac{B (α + n, β)}{B (α, β)} \\ = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} (\prod_{r = 0}^{n - 1} \frac{α + r}{α + β + r}) \frac{t^{n}}{n!} \end{matrix}

El logaritmo de la media geométrica $G_{X}$ de una distribución con variable aleatoria $X$ es la media aritmética de $\ln (X)$ o equivalentemente, su valor esperado:

\ln G_{X} = E [\ln X]

Para una distribución beta:

\begin{matrix} E [\ln X] & = \int_{0}^{1} \ln x f_{X} (x) d x \\ = \int_{0}^{1} \ln x \frac{x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1}}{B (α, β)} d x \\ = \frac{1}{B (α, β)} \int_{0}^{1} \frac{\partial x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1}}{\partial α} d x \\ = \frac{1}{B (α, β)} \frac{\partial}{\partial α} \int_{0}^{1} x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1} d x \\ = \frac{1}{B (α, β)} \frac{\partial B (α, β)}{\partial α} \\ = \frac{\partial \ln B (α, β)}{\partial α} \\ = \frac{\partial \ln Γ (α)}{\partial α} - \frac{\partial \ln Γ (α + β)}{\partial α} \\ = ψ (α) - ψ (α + β) \end{matrix}

donde $ψ$ es la función digamma.

Si $X \sim B (α, β)$ entonces $1 - X \sim B (β, α)$ .
Si $X \sim B (α, β)$ entonces $\frac{X}{1 - X} \sim β^{'} (α, β)$ , la distribución beta de segundo orden.
Si $X \sim B (\frac{n}{2}, \frac{m}{2})$ entonces $\frac{m X}{n (1 - X)} \sim F_{n, m}$ .
Si $X \sim B (α, 1)$ entonces $- \ln (X) \sim Exponencial (α)$ .

Si $X \sim B (1, 1)$ entonces $X \sim U (0, 1)$ .
$lim_{n \to \infty} n B (1, n) = Exponencial (1)$ .
$lim_{n \to \infty} n B (k, n) = Γ (k, 1)$ .
Un caso partícular de la Distribución Beta es la Distribución PERT que toma tres parámetros: Optimista, más frecuente y pesimista.