Modèle de Maxwell

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Le modèle de Maxwell décrit un matériau viscoélastique, c'est-à-dire ayant à la fois des propriétés élastiques et visqueuses. Ce modèle fut proposé par James Clerk Maxwell^[1] en 1867.

Définition

Le modèle de Maxwell est représenté par un amortisseur purement visqueux et un ressort hookéen mis en série comme l'indique le schéma ci-contre. Dans cette configuration, lorsqu'une contrainte axiale est appliquée, la contrainte totale $σ_{T o t a l}$ et la déformation totale $γ_{T o t a l}$ sont définies de la manière suivante :

σ_{T o t a l} = σ_{A} = σ_{R}

γ_{T o t a l} = γ_{A} + γ_{R}

où l'indice A désigne l'amortisseur et l'indice R le ressort.

Les contraintes de l'amortisseur et du ressort sont données respectivement par :

σ_{A} = η \dot{γ}

σ_{R} = E γ

où $E$ est le module d'élasticité associé au ressort et $η$ le coefficient de viscosité associé à l'amortisseur représentant un fluide newtonien.

Dérivons la déformation totale par rapport au temps :

\frac{d γ_{T o t a l}}{d t} = \frac{d γ_{A}}{d t} + \frac{d γ_{R}}{d t} = \frac{σ}{η} + \frac{1}{E} \frac{d σ}{d t}

En notant la dérivée temporelle par un point, l'équation précédente se réécrit :

\frac{\dot{σ}}{E} + \frac{σ}{η} = \dot{γ}

.

En multipliant cette équation par $η$ ,

τ \dot{σ} + σ = η \dot{γ}

on a fait apparaître le temps de relaxation de Maxwell :

τ = \frac{η}{E}

.

La solution générale de l'équation de Maxwell s'écrit :

$σ (t) = \frac{η}{τ} \int_{- \infty}^{t} e x p (- (t - t^{'}) / τ) \dot{γ} (t^{'}) d t^{'}$ .

Le module de relaxation de la contrainte dans le cadre de ce modèle s'écrit :

$G^{*} = G^{'} + i G^{″}$

avec

$G^{'} = \frac{E ω^{2} τ^{2}}{1 + ω^{2} τ^{2}}$

$G^{″} = \frac{E ω τ}{1 + ω^{2} τ^{2}}$

On peut remarquer que

${(G^{'} - \frac{E}{2})}^{2} + G^{'}'^{2} = \frac{E^{2}}{4}$

est l'équation d'un cercle. Ainsi, la représentation de $G^{″}$ en fonction de $G^{'}$ , dite représentation de Cole-Cole, est un demi cercle.

Remarque : la mise en parallèle d'un ressort et d'un amortisseur donne le modèle de Kelvin-Voigt.

Modèle de Maxwell généralisé

Le modèle de Maxwell généralisé consiste à mettre en parallèle un nombre N fini d'éléments de Maxwell. Chacun de ces éléments répond aux relations énoncées ci-dessus. La contrainte totale est la somme des contraintes de chaque élément :

$σ (t) = \sum_{i = 0}^{N} σ_{i} (t) = \sum_{i = 0}^{N} \frac{η_{i}}{τ_{i}} \int_{- \infty}^{t} e x p (- (t - t^{'}) / τ_{i}) \dot{γ} (t^{'}) d t^{'}$ .

Dans ce cas, le fluide ne comporte pas qu'un seul temps de relaxation, mais une collection ${τ_{i}}$ .

Cette équation peut se réécrire de la manière suivante :

$σ (t) = \int_{- \infty}^{t} G (t - t^{'}) \dot{γ} (t^{'}) d t^{'}$

où on a défini le module de relaxation des contraintes de cisaillement :

$G (t) = \sum_{i = 0}^{N} \frac{η_{i}}{τ_{i}} e x p (- t / τ_{i})$ .

Notes

↑ Articles originaux : J.C. Maxwell, « On the dynamical theory of gases », Phil. Trans. Royal Soc., n^o 157,‎ 1867, p. 49-88 (DOI 10.1098/rstl.1867.0004) ; J.C. Maxwell, « On the dynamical theory of gases », Phil. Mag., vol. 35, n^o 235,‎ 1868, p. 129-145 et 185-217

Voir aussi

Articles connexes

Portail de la physique

[1] Articles originaux : J.C. Maxwell, « On the dynamical theory of gases », Phil. Trans. Royal Soc., n^o 157,‎ 1867, p. 49-88 (DOI 10.1098/rstl.1867.0004) ; J.C. Maxwell, « On the dynamical theory of gases », Phil. Mag., vol. 35, n^o 235,‎ 1868, p. 129-145 et 185-217

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