Équivalent

En analyse mathématique, l'équivalence relie deux fonctions ou deux suites qui ont le même comportement au voisinage d'un point ou de l'infini.

Par exemple, avec $f : x \mapsto x^{2} + 3 x$ , alors quand $x$ tend vers l'infini, le terme $3 x$ devient insignifiant devant le terme $x^{2}$ ; on écrit alors $f (x) \underset{x \to + \infty}{\sim} x^{2}$ , et on dit que $f$ est équivalente à $x^{2}$ en $+ \infty$ .

Cette notion intervient dans le calcul des développements asymptotiques, dont les développements limités sont des cas particuliers. Elle est très utile dans la détermination de limites.

Pour les suites

Définitions

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur une partie $I$ de $ℝ$ à valeurs dans $ℝ$ ou $ℂ$ , et soit $a$ un point adhérent à $I$ ( $a$ peut être un réel, $+ \infty$ ou $- \infty$ ).

On dit que $f$ est équivalente à $g$ au voisinage de $a$ s'il existe une fonction $α$ et un voisinage $V$ de $a$ tels que^{[N 1]} :
$lim_{x \to a} α (x) = 1$ , et $f = α g$ sur $V \cap I$

Une autre caractérisation plus commode dans le cas où $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$ est :

$f$ est équivalente à $g$ au voisinage de $a$ si :
$lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = 1$

Exemples

Un équivalent de la somme partielle $H_{n}$ d'ordre $n$ de la série harmonique est $\ln n$ :

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} \sim \ln n

Un équivalent de la factorielle de $n$ est donné par la formule de Stirling : $n! \sim \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n}$

Pour $π_{n}$ la suite dont le $n$ -ième terme est égal au nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à $n$ , le théorème des nombres premiers établit que :

π_{n} \sim \frac{n}{\ln n}

Pour $P_{n}$ le nombre de façon de décomposer $n$ en une somme d'entiers naturels non nul sans considérer l'ordre des termes, alors :

P_{n} \sim \frac{1}{4 n \sqrt{3}} e^{π \sqrt{\frac{2 n}{3}}}

Une suite est équivalente à la suite nulle si et seulement si elle est nulle à partir d'un certain rang^[4]^,^{[N 2]}.

Propriétés

Dans le cas où la suite $v_{n}$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang, alors :

u_{n} \sim v_{n} \Leftrightarrow lim_{n \to + \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}} = 1.

Cette propriété est la plus simple à mettre en place pour montrer l'équivalence.

Si deux suites convergentes sont équivalentes, alors elles ont la même limite. Réciproquement, si deux suites ont la même limite finie et non nulles, alors elles sont équivalentes^{[N 3]} ;
La relation $\sim$ est une relation d'équivalence sur les suites réelles ou complexes ;
Une suite possède toujours un équivalent : par exemple elle-même, et cet équivalent n'est pas unique : il en existe une infinité.

Pour les fonctions

Définition

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur une partie $A$ de $ℝ$ à valeurs dans $ℝ$ ou $ℂ$ , et soit $a$ un point adhérent à $A$ ( $a$ peut être un réel, $+ \infty$ ou $- \infty$ ).

On dit que $f$ est équivalente à $g$ en $a$ , et on note $f \underset{a}{\sim} g$ ^{[N 4]} s'il existe une fonction $ε$ définie sur un voisinage $V$ de $a$ telle que :

$lim_{a} ε = 0$ ;
$\forall x \in (V \cap A), f (x) = (1 + ε (x)) g (x) .$

Exemples

Un équivalent en $\pm \infty$ d'une fonction polynomiale est son monôme de plus haut degré ;
$\sin x \underset{x \to 0}{\sim} \tan x \underset{x \to 0}{\sim} x$
$\sqrt{1 + x} \underset{x \to 0}{\sim} 1 + \frac{x}{2} \underset{x \to 0}{\sim} 1$

Propriétés

Si $g$ est non nulle au voisinage de $a$ , alors : $f \underset{a}{\sim} g \Leftrightarrow lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = 1$

Cette propriété est la plus simple à mettre en place pour montrer l'équivalence.

Si $ℓ$ est une constante non nulle : $f \underset{a}{\sim} ℓ \Leftrightarrow lim_{a} f = ℓ$
Si $f \underset{a}{\sim} 0$ , alors $f$ est nulle sur un voisinage de $a$ ;
La relation $\sim$ est une relation d'équivalence sur les fonctions réelles ou complexes ;
Si f et g sont équivalentes en a alors :
- Elles sont de même signe « localement autour de $a$ », c'est-à-dire sur un voisinage de $a$ ;
- Elles admettent la même limite en $a$ ou bien elles n'admettent pas de limite.
Les opérations de multiplication par une autre fonction ou un scalaire, d'inversion, de division sont compatibles avec la relation $\sim$ . Cependant, l'addition et la composition d'équivalents sont généralement fausses (voir opérations sur les équivalents).

Remarques

On peut généraliser cette définition en considérant des fonctions :
- définies sur une partie $A$ d'un espace topologique autre que $ℝ$ ;
- à valeurs dans un espace vectoriel normé sur $K$ , ou même dans un espace vectoriel topologique sur $K$ avec $K$ un corps valué autre que $ℝ$ ou $ℂ$ .
La notion d'équivalence de suites est un cas particulier de celle d'équivalence de fonctions.

Notes et références

Notes

↑ Cet assouplissement « à partir d'un certain rang », oublié dans certains manuels^[1]^,^[2]^,^[3], est pourtant indispensable pour que la relation $\sim$ ne dépende que du comportement asymptotique des suites que l'on compare, et non pas de l'éventuelle nullité de certains termes initiaux. Par exemple, la suite $u_{n} = n + 1$ est équivalente à $v_{n} = n$ , bien que le terme $u_{0} = 1$ ne soit pas un multiple de $v_{0} = 0$ .
↑ Cependant, la plupart des auteurs mettent en garde contre la notation $u_{n} \sim 0$ . Certains la proscrivent même avec virulence, au mieux ne s'autorisant à comparer que des suites non nulles à partir d'un certain rang^[5], au pire proclamant que la seule suite équivalente à la suite nulle est elle-même^[3].
↑ Si la limite est nulle ou infinie, cela est faux en général. Par exemple les suites de termes généraux $n$ et $n^{2}$ ne sont pas équivalentes (alors qu'elles tendent toutes les deux vers l'infini) ainsi que les suites de termes généraux $1 / n$ et $1 / n^{2}$ (qui convergent toutes les deux vers 0).
↑ Ou simplement $f \sim g$ lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur le point $a$ que l'on considère.

Références

↑ O. Ferrier, Analyse pour l'économie et la gestion, Louvain-la-Neuve (Belgique)/impr. aux Pays-Bas, De Boeck Supérieur, 2018, 448 p. (ISBN 978-2-8073-1550-1, lire en ligne), p. 355.
↑ G. Godinaud et J.-J. Ruch, Fondamentaux d'analyse pour l'entrée dans le supérieur : Cours et exercices, Paris/37-Monts, Ellipses, 2021, 202 p. (ISBN 978-2-340-05673-2, lire en ligne), p. 165.
1 2 H. Gras, C. Lebœuf et X. Merlin, Mathématiques approfondies - ECG 1re et 2e années, Ellipses, 2021 (lire en ligne), p. 207 : selon la définition de ces auteurs, pour que $u_{n} \sim v_{n}$ , il faut qu'il existe une suite $(h_{n})$ telle que $u_{n} = h_{n} v_{n}$ pour tout indice $n$ .
↑ S. Pellerin, Mathématiques BCPST-1, Ellipses, 2015 (lire en ligne), p. 87.
↑ M. Gorny et A. Sihrener, ECG 1 - Mathématiques approfondies, Informatique : Tout-en-un, Dunod, 2021 (lire en ligne), p. 602.

Voir aussi

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Comparaison asymptotique

Portail de l'analyse

[4] Cet assouplissement « à partir d'un certain rang », oublié dans certains manuels^[1]^,^[2]^,^[3], est pourtant indispensable pour que la relation $\sim$ ne dépende que du comportement asymptotique des suites que l'on compare, et non pas de l'éventuelle nullité de certains termes initiaux. Par exemple, la suite $u_{n} = n + 1$ est équivalente à $v_{n} = n$ , bien que le terme $u_{0} = 1$ ne soit pas un multiple de $v_{0} = 0$ .

[7] Cependant, la plupart des auteurs mettent en garde contre la notation $u_{n} \sim 0$ . Certains la proscrivent même avec virulence, au mieux ne s'autorisant à comparer que des suites non nulles à partir d'un certain rang^[5], au pire proclamant que la seule suite équivalente à la suite nulle est elle-même^[3].

[8] Si la limite est nulle ou infinie, cela est faux en général. Par exemple les suites de termes généraux $n$ et $n^{2}$ ne sont pas équivalentes (alors qu'elles tendent toutes les deux vers l'infini) ainsi que les suites de termes généraux $1 / n$ et $1 / n^{2}$ (qui convergent toutes les deux vers 0).

[9] Ou simplement $f \sim g$ lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur le point $a$ que l'on considère.

[1] O. Ferrier, Analyse pour l'économie et la gestion, Louvain-la-Neuve (Belgique)/impr. aux Pays-Bas, De Boeck Supérieur, 2018, 448 p. (ISBN 978-2-8073-1550-1, lire en ligne), p. 355.

[2] G. Godinaud et J.-J. Ruch, Fondamentaux d'analyse pour l'entrée dans le supérieur : Cours et exercices, Paris/37-Monts, Ellipses, 2021, 202 p. (ISBN 978-2-340-05673-2, lire en ligne), p. 165.

[ECG12-3] 1 2 H. Gras, C. Lebœuf et X. Merlin, Mathématiques approfondies - ECG 1re et 2e années, Ellipses, 2021 (lire en ligne), p. 207 : selon la définition de ces auteurs, pour que $u_{n} \sim v_{n}$ , il faut qu'il existe une suite $(h_{n})$ telle que $u_{n} = h_{n} v_{n}$ pour tout indice $n$ .

[5] S. Pellerin, Mathématiques BCPST-1, Ellipses, 2015 (lire en ligne), p. 87.

[6] M. Gorny et A. Sihrener, ECG 1 - Mathématiques approfondies, Informatique : Tout-en-un, Dunod, 2021 (lire en ligne), p. 602.

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