Secante (matemáticas)

A secante, é a razón trigonométrica recíproca do coseno:

\sec α = \frac{1}{\cos α} = \frac{c}{b}

Forma xeométrica

Temos que, calculando a partir da circunferencia de raio unidade:

\sec α = \frac{\overline{A B}}{\overline{A C}} = \frac{\overline{A E}}{\overline{A D}} = \frac{\overline{A E}}{1} = \overline{A E}

Representación gráfica

Partindo da definición de secante como a recíproca do coseno:

Coñecendo a función do coseno, podemos ver que para os valores nos que o coseno vale cero, a secante faise infinito, se a función coseno tende a cero desde valores positivos a secante tende a: $+ \infty$ .

lim_{α \to {\frac{π}{2}}^{-}} \cos (α) = 0^{+}

lim_{α \to {\frac{π}{2}}^{-}} \sec (α) = \frac{1}{lim_{α \to {\frac{π}{2}}^{-}} \cos (α)} = \frac{1}{0^{+}} = + \infty

mentres que cando o coseno tende a cero desde valores negativos a secante tende a: $- \infty$ .

lim_{α \to {\frac{π}{2}}^{+}} \cos (α) = 0^{-}

lim_{α \to {\frac{π}{2}}^{+}} \sec (α) = \frac{1}{lim_{α \to {\frac{π}{2}}^{+}} \cos (α)} = \frac{1}{0^{-}} = - \infty

Cando o coseno do ángulo vale un, a súa secante tamén vale un, como se pode ver na gráfica.

Valores significativos

Pódese obter facilmente unha táboa con algúns valores significativos lembrando que $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ :^[1]

$x$ en radiáns	0	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{5}{12} π$	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$
$x$ en graos	0°	15°	30°	45°	60°	75°	90°	180°	270°	360°
$\sec (x)$	$1$	$\sqrt{6} - \sqrt{2}$	$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{2}$	$2$	$\sqrt{6} + \sqrt{2}$	$∄$	$- 1$	$∄$	$1$

Derivadas

As derivadas obtéñense lembrando a súa definición e aplicando a regra do cociente^[2]:

\frac{d}{d x} \sec x = \frac{d}{d x} \frac{1}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos^{2} x} = \sec x \cdot \tan x .

\frac{d^{2}}{d x^{2}} \sec x = \frac{d}{d x} \frac{\tan x}{\cos x} = \frac{d}{d x} \frac{\sin x}{\cos^{2} x} = \frac{1 + \sin^{2} x}{\cos^{3} x} = \sec^{3} x (1 + \sin^{2} x) .

Relación trigonométrica secante-cosecante

Consecuencia da primeira relación fundamental da trigonometría $(\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1)$ é a seguinte relación entre a secante e a cosecante:

{c o s e c}^{2} x + \sec^{2} x = {c o s e c}^{2} x \cdot \sec^{2} x

para todo $x \neq k \frac{π}{2}$ con $k \in ℤ$ .

A relación obtense facilmente dividindo a relación fundamental por $\sin^{2} x \cdot \cos^{2} x$ .

Notas

↑ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni (2012). Ghisetti e Corvi, ed. Lineamenti.Math Blu Volume 4. ISBN 978-88-538-0432-7. p.182
↑ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi. Zanichelli, 2009, ed. Base azul curso de Matemáticas-Tomo 5. ISBN 978-88-08-03933-0. p. V17

Véxase tamén

Bibliografía

Cobo Mérida, Purificación (2008). Trigonometría, 4 ESO. Materiales Didacticos Bemal. ISBN 978-84-612-6049-2.

Ligazóns externas

[ref_A-1] Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni (2012). Ghisetti e Corvi, ed. Lineamenti.Math Blu Volume 4. ISBN 978-88-538-0432-7. p.182

[2] Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi. Zanichelli, 2009, ed. Base azul curso de Matemáticas-Tomo 5. ISBN 978-88-08-03933-0. p. V17

[1]

[2]