行列指数関数

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線型代数学における行列の指数関数（ぎょうれつのしすうかんすう、英語: matrix exponential; 行列乗）は、正方行列に対して定義される行列値関数で、通常の（実または複素変数の）指数関数に対応するものである。より抽象的には、行列リー群とその行列リー代数の間の対応関係（指数写像）を行列の指数函数が記述する。

概要

定義

行列に対する指数関数は、実数および複素数に対する指数関数のテイラー展開を参考にして以下のように定義される。

定義・定理 ― $X$ を $n$ 次実または複素正方行列とするとき、

\exp (X) := \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} X^{k}

は任意の $X$ に対し上式は収束する。 $X$ に $\exp (X)$ を対応させる関数を行列に対する指数関数という。

$\exp (X)$ は $e^{X}$ とも表記する。

基本的な性質

以下、行列の定義体 $K$ は $ℝ$ もしくは $ℂ$ とする。

定理 ― 行列の指数関数は以下を満たす。

$\exp (O) = I$
$\exp (a X) \exp (b X) = \exp ((a + b) X)$
$X Y = Y X$ なら $\exp (X) \exp (Y) = \exp (X Y)$
$\exp (- X) = (\exp (X))^{- 1}$
$Y$ が正則なら $\exp (Y X Y^{- 1}) = Y \exp (X) Y^{- 1}$
$\exp (^{t} X) =^{t} \exp (X)$
$X$ が複素行列なら、 $\exp (X^{*}) = \exp (X)^{*}$

ここで $X$ 、 $Y$ は $n$ 次の正方行列であり、 $a$ 、 $b$ は $K$ の元であり、 $O$ 、 $I$ はそれぞれ零行列、単位行列であり、 $^{t} X$ は $X$ の転置行列、 $X^{*}$ は（ $X$ が複素行列である場合における）共役転置である。

上記の定理の最後の２性質から特に、

$X$ が交代行列なら $\exp (X)$ は直交行列である。
$X$ が歪エルミート行列なら $\exp (X)$ はユニタリ行列である。

具体例

対角行列

対角行列の場合は明らかに以下が成立する：

A = (\begin{matrix} a_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & a_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & a_{n} \end{matrix})

\Rightarrow

\exp (A) = (\begin{matrix} e^{a_{1}} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & e^{a_{2}} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & e^{a_{n}} \end{matrix})

である。よって特に1行1列の行列を考えれば、行列に対する指数関数は通常の指数関数に一致する。

冪等行列

射影行列のような冪等性

A^{2} = A

が成立する行列に関しては、

\exp (A) = I + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{A^{k}}{k!}

= I + (\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k!}) A

= I + (e - 1) A

のように $\exp (A)$ を計算できる。

冪零行列

冪零行列とはある $q \in ℕ$ が存在して

N^{q} = O

が成立する行列の事である。このような行列に対しては明らかに $\exp (N)$ を以下のように計算できる：

\exp (N) = I + N + \frac{1}{2} N^{2} + \frac{1}{6} N^{3} + \dots + \frac{1}{(q - 1)!} N^{q - 1}

ジョルダン標準形による表示

行列 $A$ をジョルダン標準形で表す事により $\exp (A)$ の形を具体的に求める。

ジョルダン標準形

→詳細は「ジョルダン標準形」を参照

先に進む前にジョルダン標準形について簡単に復習する。 $ℂ$ 上の $n$ 次の任意の正方行列 $A$ に対し、適切に $n$ 次の正則行列 $P$ を取ると、 $A$ は以下のジョルダン標準形で（ジョルダン細胞（後述）を並べる順番を除いて）一意に表す事ができる：

P A P^{- 1} = J_{n_{1}} (λ_{1}) \oplus \dots \oplus J_{n_{k}} (λ_{k})

ここで $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ は $A$ の固有値であり、 $m_{1}, \dots, m_{k}$ は $m_{1} + \dots + m_{k} = n$ を満たす自然数であり、 $J_{m} (λ)$ は以下の形に書ける $m$ 次の正方行列であり、ジョルダン細胞と呼ばれる：

J_{m} (λ) = (\begin{matrix} λ & 1 \\ λ & 1 \\ ⋱ & ⋱ \\ λ & 1 \\ λ \end{matrix})

ここで値の記載がない要素は $0$ である。さらに「 $B_{1} \oplus \dots \oplus B_{k}$ 」は以下のように定義される：

B_{1} \oplus \dots \oplus B_{k} = (\begin{matrix} B_{1} \\ ⋱ \\ B_{k} \end{matrix})

指数関数の表示

ジョルダン標準形を使うと指数関数は以下のように書き下す事ができる。

定理^[1] ― 　

\exp (J_{m_{1}} (λ_{1}) \oplus \dots \oplus J_{m_{k}} (λ_{k})) = \exp (J_{m_{1}} (λ_{1})) \oplus \dots \oplus \exp (J_{m_{k}} (λ_{k}))

であり、 $\exp (J_{m} (λ))$ は以下の形に書ける：

\exp (J_{m} (λ)) = e^{λ} \cdot (\begin{matrix} 1 & 1 & \frac{1}{2!} & \frac{1}{3!} & \dots & \frac{1}{(m - 1)!} \\ 1 & 1 & \frac{1}{2!} & ⋱ & ⋮ \\ ⋱ & ⋱ & ⋱ & \frac{1}{3!} \\ ⋱ & ⋱ & \frac{1}{2!} \\ 1 & 1 \\ 1 \end{matrix})

前述の冪零行列の指数関数値を使うことで上の定理を証明できる。

証明

定理の前半は明らか。後半は $J_{m} (α)$ の対角成分を並べた行列を $L$ 、非対角成分を並べた行列を $N$ とすると、 $L N = N L$ なので、

\exp (J_{m} (λ)) = \exp (L + N)

= \exp (L) \exp (N)

= e^{λ} \exp (N)

$N$ の定義より $N^{m} = 0$ なので前述の冪零行列に対する指数関数値から

\exp (N) = I + N + \frac{1}{2} N^{2} + \frac{1}{6} N^{3} + \dots + \frac{1}{(m - 1)!} N^{m - 1}

となり定理の後半が従う。

その他の性質

和に対する指数函数

実数（あるいはスカラー） $x, y$ について、通常の指数関数が $e x + y = e x e y$ を満たすことはよく知られている。同じことは可換な行列に対しても成り立つ。即ち、行列 $X, Y$ が交換可能（ $XY = YX$ ）ならば

e^{X + Y} = e^{X} e^{Y}

が成り立つ。しかし可換でない行列については上記の関係は成り立たない。この場合、ベイカー＝キャンベル＝ハウスドルフの公式（英語版）が $e X + Y$ の計算に利用できる。

逆は一般には成り立たない。即ち、等式 $e X + Y = e X e Y$ は $X$ と $Y$ が可換であることを意味しない。

エルミート行列について、行列指数関数の跡に関係する2つの注目すべき定理を挙げる。ゴールデン–トンプソン不等式（英語版）は以下の定理である。

定理 (Golden–Thompson)^[2]: $A, H$ がエルミートであるとき、次の不等式が成り立つ。; $tr \exp (A + H) \leq tr (\exp (A) \exp (H)) .$; ここで可換性は要求されないことに注意する。

ゴールデン–トンプソン不等式を 3つの行列に対するものに拡張できないことを示す反例が知られている。そもそもエルミート行列 $A, B, C$ に対して $tr(exp(A)exp(B)exp(C))$ が実になること自体が保証されないのだが、次に示すリーブの定理（エリオット・リーブに因む）はある意味でそのような保証を与える：

定理 (Lieb): 固定されたエルミート行列 $H$ について、関数; $f (A) = tr \exp (H + \log A)$; は正定値行列錐上の凹関数である^[3]^[4]。

行列の指数関数の行列式

ヤコビの公式から、任意の複素正方行列について次のトレース恒等式（英語版）が成り立つ：

det (e^{A}) = e^{tr (A)} .

計算に役立つだけでなく、上記の等式の右辺は常に非零であるから、左辺の行列式は非零 $det(e A) \neq 0$ であり、したがって行列指数関数 $e A$ は常に正則であることが分かる。

実行列の場合、上記の公式から写像

\exp : M_{n} (ℝ) \to G L (n, ℝ)

が全射ではないことも分かる。なぜならば、実行列について公式の右辺は常に正であるが、行列式が負の正則行列は存在するからである。このことは先に触れた複素行列の場合とは対照的である。

応用

線型微分方程式

→詳細は「行列微分方程式（英語版）」を参照

行列の指数関数が重要であることの一つの理由として、常微分方程式系の解を求める際に使うことができることが挙げられる。以下の方程式

\frac{d}{d t} y (t) = A y (t), y (0) = y_{0}

の解は、 $A$ を定行列として、次のように与えられる。

y (t) = e^{A t} y_{0}

行列の指数関数はまた以下の様な非等質微分方程式に対しても有効である。

\frac{d}{d t} y (t) = A y (t) + z (t), y (0) = y_{0}

$A'$ が定行列でないとき、

\frac{d}{d t} y (t) = A (t) y (t), y (0) = y_{0}

の形の微分方程式は解を閉じた形の式として陽に表すことはできないが、マグヌス級数（英語版）が無限和の形で解を与える。

連立常微分方程式の数値解法であるexponential integratorの研究においては、行列指数関数は重要視されている^[5]。

指数写像

→詳細は「リー環の指数写像」を参照

複素行列の指数関数が常に正則行列であるということに注意する（ $e X$ の逆行列は $e - X$ によって与えられる）。これは複素変数の指数関数が常に零でないことに対応する事実である。ゆえに、行列の指数関数 $n$ 次正方行列の全体の成す空間から $n$ 次元の一般線型群（ $n$ 次正則行列の群）への写像

\exp : M_{n} (ℂ) \to G L (n, ℂ)

を定めている。実は、この写像は全射、すなわちどんな正則行列も何らかの行列乗として書くことができる（ここで実数体 $R$ でなく複素数体 $C$ 上で考えることが本質的に利いてくる）。

2つの行列 $X, Y$ について

‖ e^{X + Y} - e^{X} ‖ \leq ‖ Y ‖ e^{‖ X ‖} e^{‖ Y ‖}

が成り立つ。ここで $|| \cdot ||$ は任意の行列ノルムである。ここから、指数写像はコンパクト部分集合 $M n (C)$ 上で連続かつリプシッツ連続であることが従う。

写像

t \mapsto e^{t X} (t \in ℝ)

は $t = 0$ で単位元を通る、一般線型群内の滑らかな曲線を定義する。実は

e^{t X} e^{s X} = e^{(t + s) X}

が成り立つから、これらは一般線型群の1パラメータ部分群（英語版）を与えている。

この曲線の $t$ 上の微分係数（あるいは接ベクトル）は

\frac{d}{d t} e^{t X} = X e^{t X} = e^{t X} X

(1)

で与えられる。 $t = 0$ での微分係数はまさに行列 $X$ であり、これはつまり $X$ がこの一径数部分群を生成することを示している。

より一般に^[6]、 $t$ に依存する生成的指数 $X (t)$ に対して

\frac{d}{d t} e^{X (t)} = \int_{0}^{1} e^{α X (t)} \frac{d X (t)}{d t} e^{(1 - α) X (t)} d α

となる。右辺の $e X (t)$ を積分記号の外へ出して、残った被積分関数をアダマールの補題を使って展開すれば、以下の有用な行列乗の微分係数の表示

(\frac{d}{d t} e^{X (t)}) e^{- X (t)} = \frac{d}{d t} X (t) + \frac{1}{2!} [X (t), \frac{d}{d t} X (t)] + \frac{1}{3!} [X (t), [X (t), \frac{d}{d t} X (t)]] + \dots

が得られる。この式における係数はもとの指数函数の成分に現れているものとは異なることに注意せよ。また閉じた形の式は指数写像の微分（英語版）を参照。

指数函数の計算

一般の行列乗の計算を確度と精度を以って行うことは非常に難しく、現在においても数学、特に数値解析において重要な研究トピックの一つである。MATLABやGNU Octaveはパデ近似を使っている^[7]^[8]。

ローラン級数による評価

ケイリー・ハミルトンの定理を考えれば、 $n$ 次正方行列乗はその行列の高々次数 $n - 1$ の多項式として表示できるはずである。

非零な一変数多項式 $P$ および $Q t$ は $P (A) = 0$ なるものとする。有理型函数

f (z) = \frac{e^{t z} - Q_{t} (z)}{P (z)}

が整函数ならば

e^{t A} = Q_{t} (A)

が成り立つ。これを示すには上記等式において $P (z)$ を掛けて $z$ を $A$ で置き換えればよい。

さてこのような多項式 $Q t (z)$ は以下のように見つけることができる（シルベスターの公式（英語版）参照）。 $a$ は $P$ の根として、 $Q a, t (z)$ は $P$ に $f$ の $a$ におけるローラン級数の主要部を掛けることで得られる。これは関連するフロベニウス共変行列（英語版）に比例する。 $a$ が $P$ の根を亙るときの $Q a, t$ 全ての和 $S t$ が所期の $Q t$ として取れる。他全ての $Q t$ は $S t (z)$ に $P$ の定数倍を加えることで得られる。特に、ラグランジュ–シルヴェスター多項式 $S t (z)$ は $P$ より次数が低くなる唯一の $Q t$ である。

行列の行列乗

行列の指数函数と行列の対数函数が既知であるならば、正規かつ正則な $n$ 次正方行列 $X$ と $n$ 次複素正方行列 $Y$ に対して、行列の行列乗 (matrix-matrix exponential)^[9]を

\begin{matrix} X^{Y} & = e^{\log (X) \cdot Y}, \\ ^{Y} X & = e^{Y \cdot \log (X)} \end{matrix}

と定義することができる。ここに、行列の乗法は非可換であるから、行列の行列乗も左冪 $Y X$ と右冪 $X Y$ の別が生じることに注意せよ。さらに言えば、

$X$ が正規かつ正則ならば、 $X Y$ と $Y X$ は固有値集合が一致する。
$X$ が正規かつ正則で、 $Y$ が正規であり、かつ $XY = YX$ が成り立つならば、 $X Y = Y X$ が成り立つ。
$X$ が正規かつ正則で、 $X, Y, Z$ がどの2つも可換ならば、 $X Y + Z = X Y \cdot X Z, Y + Z X = Y X \cdot Z X$ が成り立つ。

脚注

↑ 遠藤.
↑ Bhatia 1997.
↑ Lieb 1973.
↑ Epstein 1973.
↑ Hochbruck and Ostermann, (2010)
↑ Wilcox 1967.
↑ “Matrix exponential - MATLAB expm - MathWorks Deutschland”. Mathworks.de (2011年4月30日). 2013年6月5日閲覧。
↑ “GNU Octave - Functions of a Matrix”. Network-theory.co.uk (2007年1月11日). 2013年6月5日閲覧。
↑ Ignacio Barradas and Joel E. Cohen (1994) (PDF), Iterated Exponentiation, Matrix-Matrix Exponentiation, and Entropy, Academic Press, Inc.

参考文献

Bhatia, R. (1997). Matrix Analysis. Graduate Texts in Mathematics. 169. Springer. ISBN 978-0-387-94846-1
Lieb, E. H. (1973). “Convex trace functions and the Wigner–Yanase–Dyson conjecture”. Adv. Math. 11 (3): 267-288. doi:10.1016/0001-8708(73)90011-X.
Epstein, H. (1973). “Remarks on two theorems of E. Lieb”. Commun Math. Phys. 31 (4): 317–325. doi:10.1007/BF01646492.
Wilcox, R. M. (1967). “Exponential Operators and Parameter Differentiation in Quantum Physics”. Journal of Mathematical Physics 8 (4): 962-982. doi:10.1063/1.1705306.
Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1991). Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46713-1
Moler, Cleve; Van Loan, Charles F. (2003). “Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Twenty-Five Years Later”. SIAM Review 45 (1): 3-49. doi:10.1137/S00361445024180. ISSN 1095-7200.
遠藤良樹. “行列の指数関数”. 沼津高専. 2026年7月22日閲覧。

外部リンク

『行列の指数関数とその性質』 - 高校数学の美しい物語
Weisstein, Eric W. “Matrix Exponential”. mathworld.wolfram.com (英語).
Module for the Matrix Exponential

[FOOTNOTE遠藤-1] 遠藤.

[FOOTNOTEBhatia1997-2] Bhatia 1997.

[FOOTNOTELieb1973-3] Lieb 1973.

[FOOTNOTEEpstein1973-4] Epstein 1973.

[Exponential_integrators-5] Hochbruck and Ostermann, (2010)

[FOOTNOTEWilcox1967-6] Wilcox 1967.

[7] “Matrix exponential - MATLAB expm - MathWorks Deutschland”. Mathworks.de (2011年4月30日). 2013年6月5日閲覧。

[8] “GNU Octave - Functions of a Matrix”. Network-theory.co.uk (2007年1月11日). 2013年6月5日閲覧。

[9] Ignacio Barradas and Joel E. Cohen (1994) (PDF), Iterated Exponentiation, Matrix-Matrix Exponentiation, and Entropy, Academic Press, Inc.

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概要

定義