部分写像

部分写像（ぶぶんしゃぞう、（英: partial mapping）は適当な部分集合上で定義された写像である。即ち、集合 $X$ から $Y$ への部分写像 $f$ は $X$ の任意の元に $Y$ の元を割り当てることが求められる写像 $f : X \to Y$ の概念を一般化して、 $X$ の適当な部分集合 $X'$ の元に対してのみそれを要求する。部分関数（ぶぶんかんすう、（英: partial function）とも。部分写像を考えるときには、その定義域 $X'$ がはっきりとは分かっていないという場合もよくある。

定義

写像による定義

$g : D \to Y$ を写像、 $X$ を $D \subseteq X$ を満たす集合とする。これらを用いた順序対 $f := (X, g)$ を部分写像という。このとき $X$ を「 $f$ の始域」^{[注 1]}、 $D$ を「 $f$ の定義域」、 $Y$ を「 $f$ の終域」という。定義域は $Def (f), dom (f)$ とも表記される。

対応による定義

$f = (X, Y, G)$ を対応とし、集合の濃度を $| \cdot |$ で表現する。 $f$ が次の条件、

\forall x \in X, | f [{x}] | \leq 1

を満たすとき、 $f$ は部分写像である。すなわち、始域の各要素にそれぞれ高々 1 つの要素が対応するとき、対応は部分写像である。

記法

始域 $X$ , 終域 $Y$ の部分写像を $f : X ⇸ Y$ のように縦棒付き矢印であらわすことがある。あるいは

f : X ⇝ Y, f :_{\subseteq} X \to Y, f : X \underset{p}{\to} Y, f : X ↣ Y

などとも表す（単に $f : X \to Y$ と書くと（全域）写像と紛らわしい）。

「 $f (x)$ が未定義である」とか「 $f (x) = undefined$ 」などと書くのは、 $f (x)$ はあるのに値が与えられていないだけという印象を与えるため、しばしば適当でない。正確には「写像 $f$ は点 $x$ において定義されない」とか「 $x \notin Def(f)$ 」のように書くべきである。表示的意味論では、部分写像が未定義であるときには、 $⊥$ を返すものと理解される。

値域

→「値域 (対応)」および「値域」も参照

部分写像 $f$ の像を「 $f$ の値域（ちいき、（英: range）」という。すなわち、部分写像 $f = (X, g : D \to Y)$ の値域 $ran (f)$ は次の式で定義される：

ran (f) := im f = {y \in Y ∣ \exists x \in D, y = g (x)} = g [D]

性質

定義域から値域への写像が全射

始域を定義域に限定し終域を値域に限定した部分写像を考えると、これは写像であり全射である。なぜなら値域は定義より全要素が定義域に対応付けられるからである。

定義域の濃度が値域以上

部分写像において、値域の濃度は定義域の濃度以下である。これは定義域から値域への写像が全射であることと、全射では定義域の濃度が終域以上になることから導かれる。

圏論

集合と部分写像の圏は基点付き集合と基点を保つ写像の圏に圏同値だが圏同型（英語版）でない^[1]。

集合と部分全単射の圏は自身の双対に同値である^[2]。これは可逆圏（英語版）の原型例である^[3]。

抽象代数学

普遍代数学において偏代数（英語版）は部分写像となっているような演算（偏演算）を許す代数系の一般化である。例えば体は、零除算が定義されないから除法が真に偏演算である^[4]。

与えられた台集合 $X$ 上の部分写像全体の成す集合は、 $X$ 上の全部分変換半群と呼ばれる正則半群（英語版）を成し、典型的には ${𝒫 𝒯}_{X}$ のように表される^[5]^[6]^[7]。また $X$ 上の部分全単射全体の成す集合は対称逆半群（英語版）を成す^[5]^[6]。

単射・全射

部分写像が単射あるいは全射であるとは、その始域を定義域に制限して得られる写像がそうであるときに言う。部分写像が単射かつ全射となり得る。任意の写像はその像に終域を制限するとき自明に全射となるから、部分写像が部分全単射（英語版）とは、単射な部分写像の意である^[8]。即ち、単射部分写像の逆関係は単射部分写像であり、全単射な部分写像はその逆部分写像として単射な写像を持つ。さらにいえば、単射全域写像の逆は単射部分写像になる。

変換

変換の概念も部分写像によって一般化することができる。即ち、集合 $X$ 上の部分変換とは、写像 $f : A \to B$ で、 $A, B$ の双方が $X$ の部分集合となるものを言う^[9]。

分類

全域写像

→「写像」も参照

$X' = X$ となる場合には $f$ は全域写像 (total function) と呼ばれ、これは写像と同じ概念を意味する。

全域写像（全域函数）は写像（函数）の同義語である。接頭辞として「全域」(total-) を付けるのは、それが $X$ の部分集合上で定義される部分写像の特別な場合（全体集合 $X$ 上で定義される場合）であることを示唆するためである。

例えば具体圏（英語版）における射の合成を行う演算

\circ : Hom (C) \times Hom (C) \to Hom (C)

が全域写像となるための必要十分条件は、 $Ob(C)$ がただ一つの元からなることである。なぜならば、二つの射 $f : X \to Y$ , $g : U \to V$ が $g \circ f$ と合成できるのは $f$ の余域と $g$ の域が一致するとき ( $Y = U$ ) に限られるからである。

脚注

[脚注の使い方]

注釈

↑ 圏論では域とも

出典

↑ Lutz Schröder (2001). “Categories: a free tour”. In Jürgen Koslowski and Austin Melton. Categorical Perspectives. Springer Science & Business Media. p. 10. ISBN 978-0-8176-4186-3
↑ Francis Borceux (1994). Handbook of Categorical Algebra: Volume 2, Categories and Structures. Cambridge University Press. p. 289. ISBN 978-0-521-44179-7
↑ Marco Grandis (2012). Homological Algebra: The Interplay of Homology with Distributive Lattices and Orthodox Semigroups. World Scientific. p. 55. ISBN 978-981-4407-06-9
↑ Peter Burmeister (1993). “Partial algebras – an introductory survey”. In Ivo G. Rosenberg and Gert Sabidussi. Algebras and Orders. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-7923-2143-9
1 2 Alfred Hoblitzelle Clifford; G. B. Preston (1967). The Algebraic Theory of Semigroups. Volume II. American Mathematical Soc.. p. xii. ISBN 978-0-8218-0272-4
1 2 Peter M. Higgins (1992). Techniques of semigroup theory. Oxford University Press, Incorporated. p. 4. ISBN 978-0-19-853577-5
↑ Olexandr Ganyushkin; Volodymyr Mazorchuk (2008). Classical Finite Transformation Semigroups: An Introduction. Springer Science & Business Media. pp. 16 and 24. ISBN 978-1-84800-281-4
↑ Christopher Hollings (2014). Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups. American Mathematical Society. p. 251. ISBN 978-1-4704-1493-1
↑ Christopher Hollings (2014). Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups. American Mathematical Society. p. 251. ISBN 978-1-4704-1493-1

参考文献

Martin Davis (1958), Computability and Unsolvability, McGraw–Hill Book Company, Inc, New York. Republished by Dover in 1982. ISBN 0-486-61471-9.
Stephen Kleene (1952), Introduction to Meta-Mathematics, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Netherlands, 10th printing with corrections added on 7th printing (1974). ISBN 0-7204-2103-9.
Harold S. Stone (1972), Introduction to Computer Organization and Data Structures, McGraw–Hill Book Company, New York.

定義