Operator pędu

Operator pędu – jeden z operatorów wprowadzanych przez mechanikę kwantową; wartości własne tego operatora określają możliwe wartości pędu cząstki czy układu cząstek. Matematycznie, operator pędu jest operatorem hermitowskim (samosprzężonym) zdefiniowanym na przestrzeni Hilberta.

Reprezentacja pędowa operatora pędu

Operator pędu $\hat{p}$ definiuje się następująco: działając na stan własny $| p ⟩$ operator ten daje ten sam stan mnożony przez liczbę $p,$ zwaną wartością własną

\hat{p} | p ⟩ = p | p ⟩ .

Rozwiązanie powyższego równania w bazie wektorów własnych operatora położenia prowadzi do zależności

p (x) = ⟨ x | p ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} \exp (\frac{i}{ℏ} p x) .

Funkcja ta nie jest jednak całkowalna w kwadracie, gdyż

\int_{- \infty}^{\infty} p (x)^{*} p (x) d x = + \infty .

Według ścisłych wymogów matematycznych operator pędu nie jest dobrze zdefiniowany. Jednak pomija się wymóg całkowalności w kwadracie i traktuje wielkości $| p ⟩$ jako wektory własne operatorów pędu. Przy tych założeniach zbiór wszystkich wektorów $| p ⟩$ może być traktowany jak baza ortonormalna, przy czym iloczyn skalarny dowolnych wektorów $| p^{'} ⟩, | p ⟩$ spełnia zależność

⟨ p^{'} | p ⟩ = δ (p - p^{'}),

gdzie $δ$ – delta Diraca.

(Ściśle wektory $| p ⟩$ nie tworzą bazy przestrzeni Hilberta funkcji $ℒ^{2} (ℝ)$ całkowalnych z kwadratem, gdyż przestrzeń taka jest ośrodkowa, co sprawia, że każda baza ortonormalna musi być przeliczalna, zaś zbiór ${| p ⟩ | p \in ℝ}$ jest zbiorem nieprzeliczalnym. Ignorowanie tego faktu nie prowadzi zazwyczaj do nieprawdziwych wniosków. Jednak każde obliczenia, w których traktuje się $| p ⟩$ jako wektory bazy ortonormalnej, wymagają szczególnej ostrożności).

Dowolny stan $| ψ ⟩$ przestrzeni Hilberta możemy teraz rozłożyć w bazie wektorów własnych następująco

| ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} \int_{- \infty}^{\infty} d p^{'} | p^{'} ⟩ ⟨ p^{'} | ψ ⟩ .

Wielkość $ψ (p^{'}) \equiv ⟨ p^{'} | ψ ⟩$ jest funkcją falową stanu $| ψ ⟩$ w reprezentacji pędowej, odpowiadającą wartości pędu $p^{'} .$

Korzystając z bazy ${| p^{'} ⟩}$ wektorów własnych działanie danego operatora $\hat{p}$ na stan $| ψ ⟩$ możemy obliczyć następująco:

\hat{p} | ψ ⟩ \equiv | ψ^{'} ⟩ = \hat{p} \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} \int_{- \infty}^{\infty} d p^{'} | p^{'} ⟩ ⟨ p^{'} | ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} \int_{- \infty}^{\infty} d p^{'} \hat{p} | p^{'} ⟩ ⟨ p^{'} | ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} \int_{- \infty}^{\infty} d p^{'} p^{'} | p^{'} ⟩ ⟨ p^{'} | ψ ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} d p^{'} \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} ⟨ p^{'} | ψ ⟩ p^{'} | p^{'} ⟩ .

Stan $| ψ ⟩$ pod wpływem działania operatora $\hat{p}$ przechodzi więc w inny stan $| ψ^{'} ⟩,$ który jest sumą (całką) po stanach $| p^{'} ⟩$ z amplitudami $\frac{1}{2 π ℏ} p^{'} ⟨ p^{'} | ψ ⟩ .$ Oznacza to, że np. wykonując pomiar pędu cząstki znajdującej się w stanie $| ψ ⟩$ otrzyma się wartość pędu $p^{'}$ z gęstością prawdopodobieństwa

P (p^{'}) = {| \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} ⟨ p^{'} | ψ ⟩ |}^{2} .

Reprezentacja położeniowa operatora pędu

1) Powyżej podany wzór $\hat{p} | p ⟩ = p | p ⟩$ oznacza, że działanie składowej ${\hat{p}}_{i}, i = x, y, z$ operatora pędu zapisanej w reprezentacji pędowej odpowiada po prostu na mnożeniu funkcji falowej przez $p_{i} .$

2) W reprezentacji położeniowej składowa ${\hat{p}}_{i}$ operatora pędu ma postać

{\hat{p}}_{i} = - i ℏ \frac{\partial}{\partial x_{i}} .

3) Wektorowy operator pędu $\hat{𝒑}$ definiuje się jako wektor utworzony z operatorów ${\hat{p}}_{i},$ tj.

\hat{𝒑} = [{\hat{p}}_{x}, {\hat{p}}_{y}, {\hat{p}}_{z}] .

Wektor ten w reprezentacji położeniowej ma więc postać:

\hat{𝒑} = - i ℏ \nabla,

gdzie:

\nabla = [\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}]

jest operatorem nabla (gradientu).

Relacja komutacyjna operatorów położenia i pędu

Ważną cechą kwantowego operatora pędu jest to, że nie komutuje on z operatorem położenia. Operatory te spełniają relację komutacyjną

[{\hat{x}}_{i}, {\hat{p}}_{j}] = i ℏ δ_{i j} .

Powyższa zależność jest matematycznym zapisem zasady nieoznaczoności. Implikuje ona, że przynajmniej jeden z operatorów ${\hat{x}}_{i}, {\hat{p}}_{i}$ musi być operatorem nieograniczonym.

Zobacz też