Pêndulo

O pêndulo gravitacional simples é um modelo matemático idealizado. Consiste em uma massa pontual presa à extremidade de um fio ou haste de massa desprezível, com comprimento constante e ponto de suspensão fixo. Desprezam-se o atrito, a resistência do ar e as variações do campo gravitacional ao longo da trajetória.^[8][9][10]

Quando é solto de uma posição afastada do equilíbrio, sem energia suficiente para dar uma volta completa, o pêndulo ideal oscila com amplitude constante. Em um pêndulo real, o atrito no apoio e o arrasto do ar dissipam energia, fazendo a amplitude diminuir. Um mecanismo externo pode repor essa energia, como ocorre nos relógios de pêndulo.^[11]

Um fio flexível só pode exercer tração. Por isso, nem todo movimento permitido pelo modelo de haste rígida pode ser realizado por uma massa presa a um fio. Uma massa solta do repouso acima da altura do ponto de suspensão, por exemplo, não mantém o fio esticado durante toda a trajetória.^[11]

• 
  Forças que atuam sobre a massa pendular: a tensão T e a força gravitacional mg.
• 
  Vetores de velocidade e aceleração durante a oscilação.

Para um pêndulo simples que se move num plano, a componente tangencial da segunda lei de Newton fornece

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{L}}\sin \theta =0,}$$

onde ${\displaystyle \theta }$ é o ângulo em relação à vertical descendente, ${\displaystyle L}$ é o comprimento e ${\displaystyle g}$ é a aceleração da gravidade. A presença de ${\displaystyle \sin \theta }$ torna essa equação diferencial ordinária não linear.^[12]

Sem forças dissipativas, a energia mecânica permanece constante. Tomando a energia potencial gravitacional como zero no ponto mais baixo,

$${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mL^{2}{\dot {\theta }}^{\,2}+mgL(1-\cos \theta ),}$$

em que ${\displaystyle m}$ é a massa e ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ é a velocidade angular. Nos extremos de uma oscilação, a velocidade é zero e a energia é inteiramente potencial. No ponto mais baixo, a velocidade e a energia cinética atingem seus maiores valores.^[11]

No modelo com uma haste rígida de massa desprezível, a energia potencial da posição vertical superior é

$${\displaystyle E_{\pi }=2mgL.}$$

Para ${\displaystyle E=0}$, o pêndulo permanece em repouso na posição inferior. Se ${\displaystyle 0<E<E_{\pi }}$, ele oscila. Com ${\displaystyle E=E_{\pi }}$, pode permanecer em repouso no equilíbrio instável superior ou seguir uma separatriz, aproximando-se assintoticamente dessa posição. Para ${\displaystyle E>E_{\pi }}$, há energia suficiente para rotações completas.^[12]

• 
  Amplitude de 30°.
• 
  Amplitude de 60°.
• 
  Amplitude de 120°.
• 
  Amplitude de 170°.

As animações mostram o aumento do período com a amplitude. Os movimentos de grande amplitude pressupõem uma ligação que mantenha a distância ao ponto de suspensão, como uma haste rígida.

O período de um pêndulo gravitacional simples depende de seu comprimento, da aceleração da gravidade local e da amplitude angular ${\displaystyle \theta _{0}}$. Ele não depende da massa.^[13] Para pequenas amplitudes,^{[nota 1]} o período é aproximadamente

$${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}$$(1)

Essa expressão resulta da substituição de ${\displaystyle \sin \theta }$ por ${\displaystyle \theta }$ na equação do movimento.^[14]

Para pequenas oscilações, amplitudes diferentes produzem períodos quase iguais. Esse isocronismo aproximado permite empregar o pêndulo na medição do tempo.^[15] Para amplitudes maiores, o período aumenta. Com amplitude de 0,4 radiano, cerca de 23°, ele é aproximadamente 1% maior que o valor da equação 1. Quando a amplitude se aproxima de π radianos, ou 180°, o período tende ao infinito.^[11]

O período exato das oscilações, para ${\displaystyle 0<\theta _{0}<\pi }$, pode ser escrito por meio da integral elíptica completa de primeira espécie:

$${\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {L}{g}}}\,K\left(\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}\right),}$$

com

$${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\phi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}}.}$$

Nessa notação, ${\displaystyle k}$ é o módulo da integral elíptica. Sua expansão fornece

$${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right)^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right),}$$

ou, em potências da amplitude expressa em radianos,

$${\displaystyle T=T_{0}\left(1+{\frac {\theta _{0}^{2}}{16}}+{\frac {11\theta _{0}^{4}}{3072}}+\cdots \right).}$$

Essas expressões quantificam a diferença entre o período real do modelo ideal e sua aproximação para pequenos ângulos.^[11][16]

Na relojoaria, essa diferença é chamada de erro circular. Para um pêndulo que percorre um arco total de 6°, com amplitude de 3°, ela equivale a aproximadamente 15 segundos por dia. Um relógio pode ser regulado para compensar o desvio numa amplitude determinada. Mudanças de amplitude, porém, alteram novamente sua marcha.^[13][17]

O primeiro termo corretivo,

$${\displaystyle T\approx T_{0}\left(1+{\frac {\theta _{0}^{2}}{16}}\right),}$$

melhora a aproximação de pequenos ângulos. Richard B. Kidd e Stuart L. Fogg propuseram em 2002 outra fórmula elementar:

$${\displaystyle T\approx {\frac {T_{0}}{\sqrt {\cos(\theta _{0}/2)}}}.}$$

Ela permite estimar o período sem calcular uma integral elíptica.^[18]

Em 2006, Fábio M. S. Lima, da Universidade de Brasília, e P. Arun apresentaram a aproximação

$${\displaystyle T\approx -T_{0}{\frac {\ln a}{1-a}},\qquad a=\cos \left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right).}$$

Ela também se aplica além do regime de pequenos ângulos. No limite de amplitude nula, a razão é interpretada por seu limite e o resultado tende a ${\displaystyle T_{0}}$.^[19]

Para pequenas oscilações, o movimento aproxima-se de um movimento harmônico simples:

$${\displaystyle \theta (t)\approx \theta _{0}\cos \left({\frac {2\pi }{T_{0}}}t+\varphi \right),}$$

onde a fase ${\displaystyle \varphi }$ depende das condições iniciais.^[8]

Em pêndulos reais, o período também depende da massa e da elasticidade da suspensão, das dimensões do corpo pendular, do empuxo do ar e das forças dissipativas. Experimentos de precisão precisam considerar esses efeitos.^[11][20] Um pêndulo amortecido e submetido a uma força periódica externa pode apresentar movimento regular ou caótico, dependendo dos parâmetros e das condições iniciais.^[21]

Um corpo rígido que oscila sob a ação da gravidade em torno de um eixo horizontal fixo é chamado de pêndulo composto ou pêndulo físico. Seu período depende da distribuição de massa, e não apenas da distância entre o eixo e o centro de massa.^[2]

O pêndulo composto tem um comprimento equivalente, igual ao comprimento de um pêndulo simples com o mesmo período, quando se comparam oscilações de mesma amplitude angular. Esse comprimento corresponde à distância entre o eixo de suspensão e o centro de oscilação, situado na linha que passa pelo centro de massa.^[22]

O comprimento equivalente é

$${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }={\frac {I_{O}}{mr_{\mathrm {CM} }}},}$$

onde ${\displaystyle I_{O}}$ é o momento de inércia em torno do eixo de suspensão, ${\displaystyle m}$ é a massa total e ${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }}$ é a distância desse eixo ao centro de massa. Para pequenas oscilações,

$${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {I_{O}}{mgr_{\mathrm {CM} }}}}.}$$

Quando quase toda a massa está concentrada num corpo pequeno em comparação com o comprimento do pêndulo, o centro de oscilação fica próximo do centro de massa.^[23][24]

Uma haste fina e uniforme de comprimento ${\displaystyle \ell }$, suspensa por uma extremidade, tem momento de inércia ${\displaystyle I_{O}=m\ell ^{2}/3}$ e centro de massa a uma distância ${\displaystyle \ell /2}$ do apoio. Seu período de pequenas oscilações é

$${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {2\ell }{3g}}}.}$$

Ela equivale, portanto, a um pêndulo simples com dois terços de seu comprimento.^[2]

Em 1673, Christiaan Huygens demonstrou que o ponto de suspensão e o centro de oscilação são intercambiáveis. Se o pêndulo for invertido e suspenso pelo antigo centro de oscilação, com eixo paralelo ao anterior, terá o mesmo período. O antigo ponto de suspensão passa a ser seu novo centro de oscilação.^[25] Essa propriedade foi empregada por Henry Kater na construção de seu pêndulo reversível, em 1817.^[26]

Um pêndulo duplo consiste em um pêndulo com outro preso à sua extremidade. Seu movimento é governado por equações diferenciais acopladas e pode apresentar grande sensibilidade às condições iniciais. Embora seja frequentemente chamado de pêndulo caótico, nem todo movimento desse sistema é caótico. Existem também regimes regulares, incluindo pequenas oscilações próximas do equilíbrio.^[27]

Um pêndulo esférico é a generalização tridimensional do pêndulo simples. A massa permanece a uma distância fixa do ponto de suspensão, mas pode mover-se sobre uma superfície esférica. No modelo ideal, conservam-se a energia mecânica e a componente vertical do momento angular.^[28]

O pêndulo cônico é um caso particular. A massa percorre uma circunferência horizontal com velocidade constante, enquanto o fio ou a haste mantém a mesma inclinação em relação à vertical e varre uma superfície cônica.^[28]

Galileu Galilei investigou o movimento pendular no fim do século XVI e no início do XVII. Notas de cerca de 1588, publicadas após sua morte sob o título De motu, já contêm observações sobre corpos suspensos. Nelas, Galileu observou que corpos mais pesados podiam continuar oscilando durante mais tempo que corpos mais leves.^[41][42]

Uma carta enviada de Pádua a Guidobaldo del Monte em 29 de novembro de 1602 é o primeiro documento preservado em que Galileu apresenta claramente sua defesa do isocronismo pendular.^[43][44]

Seu aluno e biógrafo Vincenzo Viviani atribuiu o início desse interesse à observação de uma lâmpada que balançava na Catedral de Pisa. O relato foi escrito décadas depois dos acontecimentos. A documentação preservada não permite confirmar a narrativa, mas tampouco estabelece, por si só, que ela seja impossível.^[45][44]

Galileu defendeu que oscilações de amplitudes diferentes levavam o mesmo tempo. Essa conclusão era mais ampla do que os resultados aceitos pela mecânica: o isocronismo do pêndulo circular é apenas aproximado e vale para pequenas amplitudes. Seus estudos também estabeleceram a independência aproximada do período em relação à massa e sua relação com a raiz quadrada do comprimento.^[46]

No início do século XVII, Santorio Santorio empregou um instrumento pendular, o pulsilogium, para comparar a pulsação arterial com o ritmo de oscilação de um pêndulo ajustável. A descrição foi publicada em 1603. A data exata de sua invenção é menos segura do que a referência frequente a 1602.^[47][44]

Em 1641, Galileu ditou a seu filho Vincenzo o projeto de um mecanismo para manter um pêndulo em movimento e regular um relógio. Vincenzo iniciou a construção, mas morreu em 1649 sem concluí-la.^[46][48]

• 
  Vista frontal do primeiro modelo de relógio de pêndulo de Huygens.
• 
  Desenho do mecanismo.

Em 1656, o cientista neerlandês Christiaan Huygens inventou um relógio regulado por pêndulo. A invenção permitiu reduzir erros diários da ordem de minutos para a ordem de segundos.^[49][50] O mecanismo se difundiu pela Europa, e relógios existentes foram adaptados para receber pêndulos.^[51]

Robert Hooke estudou movimentos pendulares em duas dimensões por volta de 1666, incluindo o pêndulo cônico. Também examinou trajetórias aproximadamente elípticas como modelos do movimento dos planetas.^[52][53] Em 1679, propôs a Isaac Newton analisar o movimento orbital como a combinação de movimento inercial tangencial e atração dirigida para um centro. Essa correspondência antecedeu a formulação newtoniana da lei da gravitação universal.^[54] Hooke também propôs usar pêndulos para investigar a gravidade.^[52]

Em 1672, durante uma expedição a Caiena, na Guiana Francesa, Jean Richer constatou que um relógio regulado em Paris atrasava cerca de dois minutos e meio por dia. Para restabelecer sua marcha, foi necessário encurtar o pêndulo. A diferença permitiu concluir que a gravidade efetiva era menor em Caiena.^[55][5]

Newton relacionou as diferenças de gravidade com a rotação da Terra e seu achatamento nos polos. A aceleração centrífuga reduz a gravidade efetiva, sobretudo nas proximidades do equador, enquanto a forma e a distribuição de massa do planeta também alteram a atração gravitacional. Pêndulos foram transportados a diferentes regiões para medir essas variações e investigar a figura da Terra.^[56]

• 
  Folha de rosto de Horologium Oscillatorium, publicado em 1673.
• 
  Demonstração de um pêndulo cicloidal. As guias próximas do apoio modificam a trajetória da massa.

Em 1673, Huygens publicou Horologium Oscillatorium sive de motu pendulorum, obra dedicada ao relógio de pêndulo e à teoria do movimento pendular.^[57] Marin Mersenne e René Descartes já haviam reconhecido, por volta de 1636, que o pêndulo circular não era perfeitamente isócrono.^[58]

Huygens procurou a curva ao longo da qual um corpo, sob a ação da gravidade e sem atrito, chegaria ao ponto inferior sempre no mesmo tempo, independentemente da altura de partida. Por uma demonstração geométrica, estabeleceu que essa curva tautocrônica é uma cicloide.^[59] Também desenvolveu a teoria do pêndulo composto e demonstrou a intercambialidade entre o ponto de suspensão e o centro de oscilação.^[60]

O escapamento de verge, empregado em relógios antigos, exigia grandes arcos de oscilação. Nessas condições, mudanças na amplitude produziam alterações perceptíveis no período.^[61] Huygens instalou guias cicloidais junto ao ponto de suspensão para fazer o fio se apoiar progressivamente nelas e obrigar a massa a seguir uma trajetória cicloidal.^[62]

O pêndulo cicloidal oferecia isocronismo no modelo ideal, mas a solução prática mais difundida foi limitar a amplitude dos pêndulos circulares. O escapamento de âncora, desenvolvido por volta de 1670, permitiu reduzir os arcos de oscilação para poucos graus.^[63][61]

Nos séculos XVIII e XIX, o aperfeiçoamento dos relógios de pêndulo exigiu controlar as alterações de comprimento produzidas pela temperatura. Uma haste que se alonga aumenta o período e faz o relógio atrasar.^[64]

O pêndulo de mercúrio de George Graham, desenvolvido em 1721, e o pêndulo de grelha de John Harrison, de 1726, compensavam a dilatação da haste por movimentos opostos de outras partes do aparelho.^[65][63] Esses dispositivos permitiram reduzir os erros de relógios de precisão para poucos segundos por semana.^[63]

Outro problema era medir o comprimento equivalente de um pêndulo usado em gravimetria. Em 1817, Henry Kater aplicou o teorema de Huygens a um instrumento reversível, publicado em 1818, que podia oscilar em torno de dois apoios. O método dispensava a determinação direta do centro de oscilação e foi empregado em medições absolutas de gravidade durante mais de um século.^[26][5]

Em 1851, Léon Foucault apresentou uma demonstração mecânica da rotação da Terra usando um pêndulo livre para oscilar em diferentes direções. Após experimentos no Observatório de Paris, instalou em março um pêndulo na cúpula do Panteão, com uma suspensão de 67 m.^[66]

O plano de oscilação gira em relação ao solo. Na aproximação ideal de pequenas oscilações, sua velocidade angular de precessão tem módulo

$${\displaystyle \Omega _{\mathrm {p} }=\Omega _{\mathrm {T} }|\sin \varphi |,}$$

onde ${\displaystyle \Omega _{\mathrm {T} }}$ é a velocidade angular da Terra e ${\displaystyle \varphi }$ é a latitude. O tempo necessário para completar uma volta aparente é

$${\displaystyle T_{\mathrm {p} }={\frac {T_{\mathrm {sid} }}{|\sin \varphi |}},}$$

em que ${\displaystyle T_{\mathrm {sid} }}$ é o dia sideral. Em Paris, esse tempo é de aproximadamente 32 horas. A precessão ocorre em sentidos opostos nos dois hemisférios e desaparece no equador, dentro dessa aproximação.^[67]

A ideia de que o plano permanece fixo no espaço enquanto o solo gira sob ele aplica-se diretamente ao caso de um pêndulo situado num polo. Em outras latitudes, a direção da vertical local também muda durante a rotação terrestre, e o movimento exige considerar essa geometria.^[67]

O experimento foi repetido em muitas cidades ainda em 1851 e passou a ser apresentado em museus e instituições de ensino.^[66][68]

Por volta de 1900, materiais de baixa dilatação térmica, como o invar e, depois, o quartzo fundido, simplificaram a construção de pêndulos de precisão. Relógios também passaram a ser instalados em recipientes fechados, com pressão reduzida e controlada, para diminuir o arrasto e as alterações de empuxo causadas pelo ar.^[69][17]

Os melhores relógios pendulares alcançaram erros próximos de um segundo por ano. Os primeiros relógios de quartzo, construídos em 1927, iniciaram uma substituição gradual dos padrões mecânicos por osciladores eletrônicos.^[4][3] Relógios de pêndulo ainda foram empregados em serviços de hora até meados do século XX. O serviço francês manteve instrumentos pendulares em seu conjunto de referência até 1954.^[70]

Na gravimetria, aparelhos de mola substituíram muitos pêndulos usados em medições relativas. Os gravímetros absolutos de queda livre passaram a substituí-los a partir da década de 1950, embora instrumentos pendulares ainda tenham sido utilizados posteriormente.^[71][5]

• 
  Pêndulo de um relógio de caixa alta.
• 
  Pêndulo ornamentado de um relógio francês Comtoise.
• 
  Pêndulo com escapamento de âncora.
• 
  Funcionamento de um escapamento de âncora.

Um pêndulo de relógio costuma ter uma massa pendular suspensa por uma haste de madeira ou metal. A massa é frequentemente um disco liso de perfil lenticular, forma que reduz a resistência do ar. Relógios decorativos podem empregar corpos ornamentados de outras formas.^[13][73]

Uma massa maior pode aumentar a energia armazenada sem elevar proporcionalmente certas perdas, mas o resultado depende da geometria e da suspensão. Pêndulos de reguladores de precisão podem ter massas de vários quilogramas.^[17]

A suspensão é muitas vezes uma lâmina metálica flexível, que funciona como uma pequena mola. Ela evita parte do atrito e das folgas de um apoio articulado. Sua rigidez acrescenta uma parcela à força restauradora. Outros instrumentos usam arestas em forma de lâmina apoiadas sobre superfícies duras, como placas de ágata.^[17][13]

O escape regula o avanço do trem de engrenagens e transmite impulsos ao pêndulo. A energia vem de uma mola principal ou de um peso motriz. No escapamento de âncora, os dentes da roda de escape interagem alternadamente com duas palhetas. Um braço ligado à âncora termina num garfo que transmite o movimento à haste pendular. A cada passagem, o mecanismo libera um avanço determinado das engrenagens e repõe parte da energia dissipada.^[61][13]

Uma porca situada abaixo da massa pendular permite ajustar sua altura. Elevá-la reduz o comprimento equivalente, encurta o período e faz o relógio adiantar. Abaixá-la produz o efeito oposto.^[74] Alguns reguladores empregam pesos auxiliares para ajustes finos. Em certos relógios de torre, pequenos pesos são acrescentados a uma bandeja próxima do meio da haste, permitindo alterar a marcha sem parar o relógio.^[75]

O suporte precisa ser rígido. Pequenos movimentos de uma parede, caixa ou tripé flexível podem alterar o período, mesmo que sejam pouco perceptíveis.^[17]

O pêndulo de segundos, com período completo de dois segundos, tem comprimento equivalente próximo de 1 m. Pêndulos cujo percurso entre extremos leva meio segundo têm comprimento equivalente próximo de 25 cm. Instrumentos maiores podem empregar semiperíodos de 1,5 ou 2 segundos, correspondentes a comprimentos equivalentes próximos de 2,25 e 4 m.^[13][76] O pêndulo do Grande Relógio da torre do Big Ben tem comprimento físico de 4,4 m.^[77]

A dilatação térmica da haste altera o período de um pêndulo. O efeito foi percebido nos primeiros relógios, que tendiam a atrasar no calor e adiantar no frio. Huygens mencionou observações de Godefroy Wendelin sobre esse problema, e Jean Picard estudou alterações térmicas do comprimento durante seus trabalhos de medição.^{[64][78][79][80]}

Para uma haste uniforme, desprezando outras alterações do instrumento,

$${\displaystyle {\frac {\Delta T}{T}}\approx {\frac {1}{2}}{\frac {\Delta L}{L}}\approx {\frac {\alpha }{2}}\Delta \vartheta ,}$$

onde ${\displaystyle \alpha }$ é o coeficiente de dilatação linear e ${\displaystyle \Delta \vartheta }$ é a variação de temperatura. A relação decorre da dependência do período com a raiz quadrada do comprimento.^[2][17]

Usando um coeficiente de 11,3 partes por milhão por grau Celsius, o alongamento de uma haste de aço produz aproximadamente 0,49 segundo de atraso por dia para cada aumento de 1 °C. Uma elevação de 33 °C corresponde a cerca de 16 segundos por dia nesse modelo, sem compensação térmica.^[17]

A madeira pode apresentar menor dilatação na direção das fibras, mas seu comprimento também é afetado pela umidade. Por isso, hastes de madeira eram envernizadas para reduzir a absorção de vapor de água.^[64][17]

Pêndulo de mercúrio

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O pêndulo de mercúrio de George Graham usa um recipiente com mercúrio como massa pendular. Quando a temperatura aumenta, a haste se alonga, mas o líquido também se expande e seu nível sobe. Isso desloca o centro de massa do mercúrio para cima em relação ao recipiente. Com dimensões adequadas, os efeitos se compensam aproximadamente, estabilizando o comprimento equivalente.^[65][81]

A compensação não é instantânea. A haste e a massa de mercúrio podem atingir a nova temperatura em tempos diferentes, causando um desvio temporário. Recipientes estreitos, por vezes agrupados, melhoram a troca de calor. Pêndulos desse tipo foram empregados em reguladores de precisão até o século XX.^[81][82]

O ar altera o movimento pendular por empuxo, pela massa de ar movimentada junto ao corpo e pela resistência ao movimento.^[69][56]

• Pelo princípio de Arquimedes, o empuxo reduz o peso efetivo sem reduzir na mesma proporção a massa inercial. Isso tende a aumentar o período.
• O pêndulo acelera parte do ar ao seu redor. Essa massa adicionada aumenta a inércia efetiva e também tende a alongar o período.
• O arrasto dissipa energia e reduz a amplitude. Sua ação sobre a marcha de um relógio envolve ainda a resposta do escapamento, que precisa repor a energia perdida.

A intensidade desses efeitos depende da densidade do ar, da forma e da densidade do corpo pendular. Não há um único coeficiente de correção que sirva para todos os pêndulos.^[85]

Medições gravimétricas precisavam reduzir o período observado ao valor equivalente no vácuo. Nos relógios, recipientes fechados permitiam limitar as mudanças de densidade do ar. Friedrich Tiede empregou esse recurso no Observatório de Berlim em 1865. Outros instrumentos usavam um mecanismo de barômetro aneroide para compensar alterações de pressão.^[86][69]

A aceleração da gravidade varia com a latitude, a altitude e a distribuição local de massa. Um relógio de pêndulo transportado para outro local pode precisar de nova regulagem. Mesmo uma mudança de altura dentro de um edifício altera ligeiramente seu período.^[71]

Para pequenas mudanças de gravidade, mantendo o comprimento constante,

$${\displaystyle {\frac {\Delta T}{T}}\approx -{\frac {1}{2}}{\frac {\Delta g}{g}}.}$$

Uma redução de ${\displaystyle g}$ alonga o período e faz o relógio atrasar.^[2]

O fator de qualidade Q expressa a relação entre a energia armazenada num oscilador e a energia dissipada. Para perdas pequenas por ciclo,

$${\displaystyle Q\approx 2\pi {\frac {E}{\Delta E}},}$$

onde ${\displaystyle E}$ é a energia armazenada e ${\displaystyle \Delta E}$ é a energia perdida num período. Num oscilador linear fracamente amortecido, também se pode escrever

$${\displaystyle Q\approx {\frac {f_{0}}{\Delta f}},}$$

com ${\displaystyle f_{0}}$ igual à frequência de ressonância e ${\displaystyle \Delta f}$ à largura da curva de resposta medida entre os pontos de meia potência.^[89]

Um Q elevado corresponde a perdas pequenas e a uma ressonância estreita. Isso favorece a estabilidade, mas não determina sozinho a precisão de um relógio. Temperatura, pressão, movimento do suporte, amplitude e escapamento também alteram a frequência.^[90]

No regime de amortecimento linear fraco, o fator Q pode ser estimado contando os ciclos necessários para que a amplitude livre diminua para ${\displaystyle 1/e}$, cerca de 36,8% do valor inicial. Se esse número for ${\displaystyle N}$, então ${\displaystyle Q\approx \pi N}$.^[90]

Para um pêndulo simples de pequena amplitude, com força de amortecimento proporcional à velocidade, ${\displaystyle F_{\mathrm {d} }=-\Gamma v}$,

$${\displaystyle Q\approx {\frac {M\omega _{0}}{\Gamma }},}$$

onde ${\displaystyle M}$ é a massa, ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {g/L}}}$ é a frequência angular natural e ${\displaystyle \Gamma }$ é o coeficiente de amortecimento. A expressão não se aplica sem ajustes a perdas não lineares ou a qualquer geometria de pêndulo.^[90]

Num relógio, o escapamento precisa repor a energia perdida. Menores perdas permitem impulsos menores, reduzindo a perturbação introduzida pelo próprio mecanismo. Apoios de baixo atrito e operação sob pressão reduzida podem elevar o fator Q.^[91]

Os valores de Q de pêndulos de relógio vão de milhares a centenas de milhares. O pêndulo mestre do Shortt-Synchronome tinha valor próximo de 110.000.^[92] Criado em 1921, esse relógio separava o pêndulo mestre das tarefas de acionamento dos mostradores e alcançava erros próximos de um segundo por ano.^[3][4]

O escapamento mantém a oscilação e controla o avanço do mecanismo. Seus impulsos, porém, também perturbam o movimento do pêndulo. Atrito nas palhetas, alterações da lubrificação e variações do torque da fonte de energia mudam a intensidade e a duração desses impulsos.^[17][61]

Se uma mudança de impulso altera a amplitude, o erro circular também muda. Um projeto de escapamento procura reduzir a ação direta dos impulsos sobre a fase e limitar as variações de amplitude. Não basta supor que o período será invariável apenas porque o impulso ocorre próximo da posição de equilíbrio.^[17]

Um impulso curto aplicado perto da passagem pelo ponto inferior pode repor energia com menor alteração direta da fase. Aplicado antes dessa passagem, tende a adiantar o movimento. Aplicado depois, tende a retardá-lo.^[3]

George Biddell Airy analisou essas perturbações num trabalho apresentado em 1826 e publicado em 1830. Uma distribuição de impulsos simétrica em torno da posição inferior pode cancelar, em primeira aproximação, a perturbação direta do período.^[93] Essa condição não elimina automaticamente as alterações de período resultantes de uma mudança de amplitude. Escapamentos de precisão procuram aproximar-se dela e, ao mesmo tempo, manter estável a oscilação.^[94][17]

O pêndulo de segundos tem período completo de dois segundos. Cada passagem de um extremo ao outro leva um segundo, o que facilita a comparação com relógios reguladores. Seu comprimento equivalente é próximo de 1 m, variando ligeiramente com a gravidade local.^[56]

No fim do século XVII, a determinação desse comprimento tornou-se uma forma de comparar a gravidade entre lugares. Para um período fixo, a equação 1 fornece

$${\displaystyle g\propto L.}$$

Assim, um pêndulo de segundos precisa ser um pouco mais longo onde a gravidade é maior.^[5]

• 1620: Francis Bacon propôs investigar diferenças de peso e gravidade em diferentes alturas e profundidades. Essas ideias antecederam os experimentos pendulares realizados posteriormente em montanhas e minas.^[95]
• 1644: Marin Mersenne determinou um comprimento próximo de 993 mm para o pêndulo de segundos, comparando oscilações com tempos de queda por distâncias conhecidas. Também investigou a alteração do período com a amplitude.^[56]
• 1669: Jean Picard realizou medições em Paris com uma pequena esfera de cobre suspensa por uma fibra vegetal. Obteve um comprimento próximo de 993 mm e estudou alterações ligadas à temperatura.^[96][56]
• 1672: Jean Richer observou em Caiena o atraso de um relógio regulado em Paris. O encurtamento necessário para restabelecer a marcha era da ordem de 3 mm. As diferenças entre medições em latitudes distintas passaram a ser empregadas no estudo da forma da Terra. Em 1743, Alexis Claude de Clairaut formulou uma relação entre a gravidade superficial e o achatamento de um corpo em rotação, conhecida como teorema de Clairaut.^[5][56]
• 1687: nos Principia Mathematica, Newton relatou experiências com pêndulos contendo substâncias diferentes. Dentro da precisão disponível, os resultados eram compatíveis com a proporcionalidade entre massa gravitacional e massa inercial. Essa equivalência seria testada com precisão crescente e integra o princípio da equivalência da relatividade geral.^[56][5]

• 1737: Pierre Bouguer realizou observações nos Andes durante a missão geodésica francesa à América do Sul. Empregou uma massa de cobre em forma de cone duplo e considerou o centro de oscilação do conjunto. Aplicou correções de temperatura e pressão e comparou medições em diferentes altitudes. A diminuição de gravidade observada era menor do que a prevista considerando apenas o afastamento do centro da Terra. Bouguer atribuiu a diferença à atração da massa do planalto e usou modelos do terreno e amostras de rocha para estimar a densidade média terrestre.^[56]
• 1747: Daniel Bernoulli apresentou uma correção para a amplitude finita baseada no termo ${\displaystyle \theta _{0}^{2}/16}$ da expansão do período.^[56]
• 1792: Jean-Charles de Borda e Jean-Dominique Cassini fizeram medições pendulares em Paris durante os trabalhos de estabelecimento do sistema métrico. Seu aparelho empregava uma esfera de platina de cerca de 3,6 cm de diâmetro e um fio de ferro de aproximadamente 3,9 m. Comparavam o movimento desse pêndulo longo com o de um relógio pelo método das coincidências.^[97]
• 1821: Francesco Carlini realizou medições no Monte Cenis e estimou a atração da montanha a partir de sua forma e da densidade das rochas. Seu resultado para a densidade média da Terra foi cerca de 4,39 vezes a densidade da água. Reavaliações posteriores produziram valores de 4,77 e 4,95, mostrando a sensibilidade do cálculo ao modelo do terreno.^[98]

O método das coincidências mede o tempo necessário para que dois movimentos pendulares voltem a uma relação de fase determinada. Para períodos próximos, ${\displaystyle T_{1}}$ e ${\displaystyle T_{2}}$, o intervalo entre coincidências de mesma fase e sentido é

$${\displaystyle {\frac {1}{\Delta t}}=\left|{\frac {1}{T_{1}}}-{\frac {1}{T_{2}}}\right|.}$$

Isso permite obter uma pequena diferença de períodos a partir de um intervalo muito maior. Comparações entre pêndulos cujos períodos estão próximos de uma razão inteira, como no aparelho longo de Borda, precisam considerar essa razão na contagem das coincidências.^[56][5]

• 
  Pêndulo de Kater e suporte.
• 
  Montagem de observação apresentada no trabalho de Kater de 1818.
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  Pêndulo reversível com dois apoios.

Nas primeiras medições absolutas de gravidade, uma dificuldade era conhecer o comprimento equivalente. Uma esfera suspensa por um fio leve apenas aproxima o pêndulo simples: a suspensão tem massa, pode alongar-se e não obriga todo o conjunto a mover-se como um corpo rígido.^[5]

Huygens havia demonstrado que o ponto de suspensão e o centro de oscilação são intercambiáveis. Kater usou essa propriedade para construir um pêndulo que podia ser suspenso por dois apoios, situados em lados opostos do centro de massa. O instrumento era invertido e seu período medido em cada posição.^[25][26]

Quando os períodos são iguais e as distâncias dos apoios ao centro de massa são diferentes, a distância entre os apoios é igual ao comprimento equivalente. A condição de distâncias diferentes evita o caso em que dois apoios simétricos têm períodos iguais sem satisfazer essa identificação.^[56]

O aparelho de Kater era uma barra de latão com dois apoios em forma de lâmina. Pesos deslocáveis permitiam ajustar a distribuição de massa até aproximar os períodos das duas orientações. A separação entre as lâminas era então medida com precisão, e o valor de ${\displaystyle g}$ era calculado depois das correções necessárias.^[26]

Kater empregou o método das coincidências e corrigiu os efeitos da amplitude, do ar e da temperatura. Seu resultado para o comprimento do pêndulo de segundos em Londres, referido ao vácuo, ao nível do mar e a aproximadamente 16,7 °C, equivale a cerca de 994,138 mm. A maior diferença em relação à média de doze observações foi próxima de 0,007 mm, correspondendo a cerca de sete partes por milhão.^[99]

A medição foi empregada na cláusula de recuperação do padrão britânico de comprimento estabelecida em 1824. Pêndulos reversíveis derivados desse princípio permaneceram em uso em medições absolutas de gravidade até o século XX.^[5]

A determinação de posições e dimensões da Terra passou a incorporar medições de gravidade. Pêndulos foram transportados em levantamentos geodésicos, incluindo o Grande Levantamento Trigonométrico da Índia.^[5]

• Pêndulos invariáveis: medições relativas dispensavam a determinação repetida do comprimento absoluto. Um mesmo pêndulo era observado numa estação de referência e depois transportado a outro local. Mantidas suas propriedades, a razão entre as acelerações gravitacionais é o inverso da razão entre os quadrados dos períodos. Pêndulos com um único apoio foram empregados nesse procedimento, que tornou mais simples comparar locais distantes.^[56][5]
• Experimentos de Airy em minas: George Biddell Airy tentou determinar a densidade média da Terra comparando a gravidade na superfície e no interior de uma mina. Depois de tentativas iniciadas em 1826 na mina de Dolcoath, realizou novas observações em 1854 na mina de carvão de Harton, a cerca de 381 m de profundidade. Os resultados indicaram que um pêndulo de segundos no fundo avançaria aproximadamente 2,24 segundos por dia em relação ao correspondente na superfície. A gravidade era, portanto, maior no fundo da mina. A variação de gravidade com a profundidade depende da distribuição de densidade e não é necessariamente uma diminuição. Airy obteve uma estimativa de aproximadamente 6.565 kg/m³ para a densidade média terrestre.^[100][101]

• Pêndulo Repsold-Bessel: Friedrich Bessel mostrou em 1835 que não era necessário igualar exatamente os períodos de um pêndulo reversível. Conhecendo os dois períodos e a posição do centro de massa, era possível calcular a gravidade. Também investigou formas de reduzir efeitos do ar e das dimensões dos apoios. Em 1864, Adolf Repsold construiu um instrumento desse tipo para a Comissão Geodésica Suíça. O aparelho tinha cerca de 56 cm e um semiperíodo próximo de 0,75 segundo, correspondente a um período completo de cerca de 1,5 segundo.^{[102][nota 3]} Instrumentos semelhantes foram empregados na Europa e na Índia, com aperfeiçoamentos de Charles Sanders Peirce e C. Defforges.^[5]

• Gravímetros de von Sterneck e Mendenhall: Robert von Sterneck desenvolveu em 1887 um instrumento compacto com pêndulos de semiperíodo próximo de meio segundo, cerca de 25 cm de comprimento equivalente, instalados num recipiente com condições controladas. O período podia ser observado pela reflexão de centelhas produzidas por um cronômetro. Thomas C. Mendenhall criou um aparelho semelhante em 1890 para o United States Coast and Geodetic Survey. Esses instrumentos foram usados em medições relativas durante as primeiras décadas do século XX. Pêndulos de Mendenhall também foram empregados em trabalhos de Albert A. Michelson sobre a velocidade da luz.^[103][5]
• Gravímetros com pêndulos em oposição de fase: o movimento pendular pode fazer o suporte oscilar, alterando o período medido. Peirce investigou esse erro em 1875. C. Defforges e outros pesquisadores empregaram métodos ópticos para medir o movimento dos suportes. Outra solução consistia em instalar dois pêndulos semelhantes que oscilassem com a mesma amplitude e em sentidos opostos, reduzindo a força horizontal resultante sobre a estrutura.^[104]

• Gravímetro Gulf: desenvolvido a partir de 1929 pela Gulf Research and Development Company, empregava dois pêndulos de quartzo fundido, com cerca de 272 mm de comprimento físico, oscilando em oposição de fase. Ficavam num recipiente evacuado e selado, com controle das condições internas. A leitura óptica do movimento era comparada com uma referência de frequência. O instrumento foi projetado para alcançar precisão relativa da ordem de uma parte em dez milhões, aproximadamente 1 µm/s² em gravidade terrestre.^[105] Equipamentos dessa família ainda foram empregados em trabalhos geofísicos nas décadas seguintes.^[106]

Os gravímetros relativos de mola, incluindo o sistema de mola de comprimento zero desenvolvido por Lucien LaCoste em 1934, reduziram a necessidade de instrumentos pendulares. Nas medições absolutas, gravímetros de queda livre passaram a medir opticamente a aceleração de um corpo em uma câmara evacuada.^[103][71]

Isaac Beeckman propôs em 1631 usar o pêndulo de segundos como medida reproduzível de comprimento. Marin Mersenne também defendeu essa possibilidade depois de suas medições.^[109]

Propostas pendulares foram discutidas no ambiente da Royal Society no século XVII. Huygens apresentou no Horologium Oscillatorium um "pé horário" igual a um terço do comprimento do pêndulo de segundos. Christopher Wren e Ole Rømer também defenderam medidas derivadas do movimento pendular.^[110] A ideia chegou à sátira de Samuel Butler em Hudibras.^[111]

Em 1671, Jean Picard propôs um "pé universal" em La Mesure de la Terre. Gabriel Mouton discutiu medidas relacionadas ao pêndulo e ao arco terrestre. Tito Livio Burattini apresentou em 1675 um sistema de unidades baseado no pêndulo. No século XVIII, Charles Marie de La Condamine, James Steuart e George Skene Keith também defenderam padrões pendulares.^[79][107]

Em 1790, Thomas Jefferson, então secretário de Estado dos Estados Unidos, apresentou um plano de uniformização das medidas. O relatório enviado ao Congresso adotava a latitude de 45°, substituindo a escolha de 38° feita num rascunho anterior. Para reduzir a incerteza na posição do centro de oscilação, propunha uma haste cilíndrica uniforme, sem uma massa adicional na extremidade, ajustada para bater segundos.^[112] O plano não foi adotado. Na Grã-Bretanha, John Riggs Miller defendeu uma reforma das medidas e a possibilidade de usar o pêndulo de segundos de Londres como referência.^[113]

Nas discussões francesas de 1791, o pêndulo de segundos a 45° de latitude foi uma das opções para definir o metro. A proposta recebeu apoio de Talleyrand e de Condorcet. A comissão da Academia Francesa de Ciências escolheu uma fração do arco de meridiano terrestre entre o equador e o polo.^[107][114]

A definição geodésica evitava fazer a unidade de comprimento depender diretamente de uma unidade de tempo e das variações locais de gravidade. O metro resultante ficou próximo do comprimento do pêndulo de segundos, mas essa proximidade não tornou o pêndulo sua definição oficial.^[107]

Desde 1983, o metro é definido por meio da velocidade da luz e do segundo. Na formulação do Sistema Internacional de Unidades, fixa-se o valor numérico da velocidade da luz no vácuo em 299.792.458 m/s.^[115]

Em 1821, a polegada dinamarquesa foi relacionada a 1/38 do comprimento de um pêndulo de segundos solares médios referido à latitude de 45°, no meridiano de Skagen, ao nível do mar e no vácuo. A latitude era uma condição de referência, não a latitude geográfica de Skagen.^[116]

A legislação britânica de 1824 manteve um padrão material para a jarda, mas previu sua recuperação por meio do pêndulo caso o objeto fosse perdido. A referência era o pêndulo de segundos de Londres, no vácuo, ao nível do mar e a aproximadamente 16,7 °C, com comprimento equivalente próximo de 994,14 mm.^[117]

O padrão material foi destruído no incêndio do Parlamento de 1834. A reconstrução pelo procedimento pendular não oferecia a precisão necessária, e o novo padrão foi estabelecido a partir de comparações com cópias materiais. A legislação de 1855 abandonou o mecanismo de recuperação pelo pêndulo.^[5]

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  Sinal pendular ferroviário com o disco abaixo do apoio.
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  Outra configuração de sinal wigwag, ilustrada num catálogo de 1922.

Sinais ferroviários do tipo wigwag empregam um disco que oscila para avisar da aproximação de um trem. A Magnetic Signal Company comercializava modelos acionados eletromagneticamente sob o nome Magnetic Flagman. O movimento alternado do disco imitava o gesto de um sinalizador humano.^[118]

Em sismógrafos pendulares, uma massa suspensa reage de forma diferente da estrutura que acompanha o movimento do solo. Essa diferença permite registrar vibrações. A massa não permanece rigorosamente imóvel em todas as condições: sua resposta depende da frequência do movimento, da suspensão e do amortecimento.^[29]

Pêndulos com eixo de rotação inclinado ou quase vertical permitem obter períodos longos sem uma suspensão muito comprida. Configurações desse tipo foram usadas para registrar componentes horizontais do movimento sísmico.^[29]

Um pêndulo balístico permite estimar a velocidade de um projétil a partir do movimento que ele transmite a uma massa suspensa. No arranjo em que o projétil fica alojado no corpo, o impacto é uma colisão inelástica e parte da energia cinética é dissipada.^[119]

No modelo usual de uma massa suspensa atingida horizontalmente, a conservação do momento linear durante o impacto fornece a velocidade do conjunto, desde que o impulso externo horizontal seja desprezível. Na subida posterior, a energia cinética se transforma em energia potencial gravitacional. A altura máxima permite calcular a velocidade logo após a colisão e, a partir dela, a velocidade inicial do projétil. Para um pêndulo rígido que gira em torno de um eixo fixo, o tratamento geral emprega a conservação do momento angular em torno desse eixo durante o impacto.^[119][2]

Acima de sua frequência natural, uma suspensão pendular pode reduzir a transmissão de movimento horizontal do suporte para a massa suspensa. Pêndulos instalados em cascata permitem ampliar esse isolamento.^[6]

Os espelhos principais do Advanced LIGO são suspensos por sistemas de quatro estágios pendulares. O último estágio emprega fibras de sílica fundida para sustentar o espelho e reduzir perdas mecânicas. A suspensão trabalha em conjunto com outros sistemas de isolamento e controle, diminuindo as vibrações que poderiam encobrir os deslocamentos extremamente pequenos procurados pelo detector.^[6]

A sintonia de Schuler é uma propriedade de sistemas de navegação inercial cuja dinâmica é ajustada para um período próximo de 84,4 minutos. Esse período é igual ao de um pêndulo simples ideal com comprimento equivalente ao raio da Terra:

$${\displaystyle T_{\mathrm {S} }=2\pi {\sqrt {\frac {R_{\mathrm {T} }}{g}}}.}$$

Max Schuler apresentou o princípio em 1923.^[120]

Não existe um pêndulo físico com esse comprimento no instrumento. A analogia é matemática. Nos sistemas com plataforma estabilizada, a realimentação relaciona a velocidade do veículo à mudança da vertical local sobre a superfície curva da Terra. Sistemas sem plataforma móvel realizam operações equivalentes por cálculo. A sintonia limita a forma como certos erros de inclinação e velocidade evoluem, mas não elimina todos os erros nem mantém uma orientação perfeita em qualquer condição.^[120]

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  Dois pêndulos acoplados por uma suspensão comum. A energia de oscilação passa de um para o outro.
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  Reprodução de um experimento de sincronização entre relógios.

Em 1665, Huygens observou que dois relógios de pêndulo presos a um suporte comum podiam sincronizar suas oscilações em oposição de fase. Pequenos movimentos da estrutura transmitiam forças entre os instrumentos.^[121]

Esse comportamento é um exemplo de osciladores acoplados. Dependendo do mecanismo de acoplamento e dos parâmetros, podem ocorrer sincronização em fase, em oposição de fase ou estados em que um dos osciladores deixa de se mover. Esses resultados não significam que quaisquer dois relógios próximos necessariamente se sincronizem.^[122][123]

Um turíbulo, recipiente suspenso por correntes para queimar incenso, realiza movimento pendular quando é posto a balançar. O Botafumeiro da Catedral de Santiago de Compostela é um exemplo de grande dimensão. A movimentação da corda de suspensão pode transferir energia ao sistema e ampliar sua oscilação.^[124]

Pêndulos também são empregados em práticas de radiestesia, distintas de seus usos como instrumentos de medição física.^[125]

Pêndulos são usados na educação científica para estudar forças, energia, periodicidade e ressonância. A mudança entre energia potencial e cinética pode ser observada diretamente, e o período pode ser medido com equipamentos simples.^[2]

Uma demonstração de conservação de energia emprega uma massa pesada, como uma bola de boliche ou bola de demolição, suspensa por um cabo. Solta do repouso, ela não retorna a uma altura maior que a inicial sem receber energia adicional. Algumas apresentações posicionam a massa perto do rosto de uma pessoa antes da liberação. O procedimento envolve risco se houver um impulso inicial, movimento da pessoa ou falha na montagem.^[126][127]

Outra demonstração é a onda de pêndulos, formada por um conjunto de pêndulos de comprimentos diferentes. A diferença entre seus períodos produz padrões que mudam à medida que as fases relativas evoluem.^[128]

O conto The Pit and the Pendulum, publicado por Edgar Allan Poe em 1842, apresenta uma lâmina pendular que desce lentamente sobre um prisioneiro imobilizado. A imagem tornou-se uma representação difundida de tortura atribuída à Inquisição espanhola.^[129]

Uma alegação de uso de um aparelho desse tipo consta do prefácio da edição inglesa abreviada de 1826 de The History of the Inquisition of Spain, obra de Juan Antonio Llorente. O trecho apresenta um relato indireto, não uma descrição comprovada de um instrumento preservado.^[130][131]

Não há comprovação suficiente de que a Inquisição tenha utilizado a lâmina pendular apresentada nessas narrativas.^[132][133] Uma possível origem da confusão é o estrapado, também chamado de "pêndulo" em certos textos. Nele, o prisioneiro era suspenso por uma corda presa aos braços amarrados atrás das costas. Esse procedimento é diferente da máquina com lâmina popularizada por Poe.^[134]