Normală

În geometrie o normală este un obiect, cum ar fi o dreaptă, o rază sau un vector, care este perpendicular pe un obiect dat. De exemplu, dreapta normală la o curbă plană într-un punct dat este dreapta (infinită) perpendiculară pe tangenta la curbă în acest punct.Un vector normal poate avea lungimea 1 (un versor) sau lungimea sa poate reprezenta curbura obiectului (un vector de curbură); semnul algebric al acestuia poate indica pe care parte (interior sau exterior) este.

În spațiul tridimensional o normală la suprafață sau, simplu, normală la o suprafață în punctul $P$ este un vector perpendicular pe planul tangent la suprafață în $P$ . Cuvântul „normal” este folosit și ca adjectiv: o dreaptă normală la un plan, componenta normală a unei forțe, vectorul normal etc. Noțiunea de normalitate se generalizează la ortogonalitate (unghiuri drepte).

Noțiunea a fost generalizată la varietăți diferențiabile^⁠(d) de dimensiune arbitrară încorporate într-un spațiu euclidian. Spațiul vectorial normal sau spațiul normal al unei varietăți în punctul $P$ este mulțimea de vectori care sunt ortogonali cu spațiul tangent^⁠(d) în $P$ . Vectorii normali prezintă un interes deosebit în cazul curbelor și suprafețelor netede.

Distanța normală a unui punct $Q$ la o curbă sau la o suprafață este distanța euclidiană dintre $Q$ și proiecția sa perpendiculară pe obiect (în punctul $P$ de pe obiect a cărui normală conține $Q$ ).

Normala la suprafețe în spațiul tridimensional

Calculul normalei la o suprafață

Pentru un poligon convex (cum ar fi un triunghi), o normală a suprafeței poate fi calculată ca vectorul produs vectorial al două laturi (neparalele) ale poligonului.

La un plan dat de ecuația $a x + b y + c z + d = 0,$ vectorul $𝐧 = (a, b, c)$ este normal.^[1]^[2]

Pentru un plan a cărui ecuație este dată în formă parametrică:

𝐫 (s, t) = 𝐫_{0} + s 𝐩 + t 𝐪,

unde $𝐫_{0}$ este un punct din plan, iar $𝐩, 𝐪$ sunt vectori neparaleli îndreptați de-a lungul planului, o normală la plan este un vector normal pe ambii $𝐩$ și $𝐪,$ care poate fi calculat prin produsul vectorial $𝐧 = 𝐩 \times 𝐪 .$ ^[2]^[3]

Dacă o suprafață (nu neapărat plană) $S$ în spațiul tridimensional $ℝ^{3}$ este parametrizată de un sistem de coordonate curbilinii $𝐫 (s, t) = (x (s, t), y (s, t), z (s, t)),$ cu $s$ și $t$ variabile reale, atunci o normală la $S$ este prin definiție o normală la un plan tangent, dată de produsul vectorial al derivatelor parțiale

𝐧 = \frac{\partial 𝐫}{\partial s} \times \frac{\partial 𝐫}{\partial t} .

Dacă suprafața $S$ este dată sub formă implicită^⁠(d) ca un set de puncte $(x, y, z)$ care satisfac $F (x, y, z) = 0,$ atunci o normală într-un punct $(x, y, z)$ de pe suprafață este dată de gradientul

𝐧 = \nabla F (x, y, z)

deoarece gradientul este perpendicular în orice punct al setului $S$ .

Pentru suprafața $S$ din $ℝ^{3}$ care este graficul funcției $z = f (x, y),$ o normală orientată în sus poate fi găsită fie din parametrizarea $𝐫 (x, y) = (x, y, f (x, y)),$ dând

𝐧 = \frac{\partial 𝐫}{\partial x} \times \frac{\partial 𝐫}{\partial y} = (1, 0, \frac{\partial f}{\partial x}) \times (0, 1, \frac{\partial f}{\partial y}) = (- \frac{\partial f}{\partial x}, - \frac{\partial f}{\partial y}, 1);

sau mai simplu din forma sa implicită $F (x, y, z) = z - f (x, y) = 0,$ rezultând

𝐧 = \nabla F (x, y, z) = (- \frac{\partial f}{\partial x}, - \frac{\partial f}{\partial y}, 1) .

Deoarece o suprafață nu are un plan tangent într-un punct singular (de exemplu, vârful unui con), nu are o normală bine definită în acel punct. În general, la o suprafață care este Lipschitz continuă este posibil să se definească o normală aproape peste tot^⁠(d).

Alegerea normalei

Normala unei (hiper)suprafețe este de obicei scalată pentru a avea lungimea unitate, dar nu are o direcție unică, deoarece opusa sa este și ea o normală unitate. Pentru o suprafață care este frontiera unei mulțimi tridimensionale se poate distinge între normala orientată spre interior și normala orientată spre exterior. Pentru o suprafață orientată, normala este de obicei determinată de regula mâinii drepte sau de analoaga sa în dimensiuni superioare.

Hipersuprafețe în spațiul n-dimensional

La un hiperplan (n−1)-dimensional dintr-un spațiu n-dimensional $ℝ^{n}$ dat de reprezentarea sa parametrică

𝐫 (t_{1}, \dots, t_{n - 1}) = 𝐩_{0} + t_{1} 𝐩_{1} + \dots + t_{n - 1} 𝐩_{n - 1},

unde $𝐩_{0}$ un punct pe hiperplan, iar $𝐩_{i}$ pentru $i = 1, \dots, n - 1$ sunt vectori liniar independenți de-a lungul hiperplanului, o normală la hiperplan este orice vector $𝐧$ din nucleul matricei $P = [\begin{matrix} 𝐩_{1} & \dots & 𝐩_{n - 1} \end{matrix}],$ unde $P 𝐧 = 𝟎 .$ Adică, orice vector ortogonal cu toți vectorii din plan este prin definiție o normală a suprafeței. Alternativ, dacă hiperplanul este definit ca setul de soluții al unei singure ecuații liniare $a_{1} x_{1} + \dots + a_{n} x_{n} = c,$ atunci vectorul $𝕟 = (a_{1}, \dots, a_{n})$ este o normală.

Definiția unei normale la o suprafață din spațiul tridimensional poate fi extinsă la hipersuprafețele ( $n$ −1)-dimensionale din $ℝ^{n} .$ O hipersuprafață poate fi definită local implicit ca mulțimea punctelor $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ care satisfac o ecuație $F (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = 0,$ unde $F$ este o funcție scalară. Dacă $F$ este diferențiabilă continuu, atunci hipersuprafața este o varietate diferențiabilă în vecinătatea punctelor în care gradientul nu este zero. În aceste puncte un vector normal este dat de gradient:

𝕟 = \nabla F (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = (\frac{\partial F}{\partial x_{1}}, \frac{\partial F}{\partial x_{2}}, \dots, \frac{\partial F}{\partial x_{n}}) .

Dreapta normală este un subspațiu unidimensional cu baza ${𝐧} .$

Note

↑ Paul A. Blaga, Dreapta și planul în spațiu, Universitatea Babeș-Bolyai, 8 aprilie 2020, accesat 2022-06-20
1 2 Plane în spațiu. Breviar teoretic Arhivat în 26 noiembrie 2022, la Wayback Machine., Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi” din Iași, accesat 2022-06-20
↑ Paul Popescu, Marcela Popescu, Algebră Liniară și Geometrie Analitică, Universitatea din Craiova, p. 27, accesat 2022-06-20

Legături externe

en Eric W. Weisstein, Normal Vector la MathWorld.
en An explanation of normal vectors from Microsoft's MSDN
en Clear pseudocode for calculating a surface normal Arhivat în 18 august 2016, la Wayback Machine. from either a triangle or polygon.

[PB-1] Paul A. Blaga, Dreapta și planul în spațiu, Universitatea Babeș-Bolyai, 8 aprilie 2020, accesat 2022-06-20

[tuiasi-2] 1 2 Plane în spațiu. Breviar teoretic Arhivat în 26 noiembrie 2022, la Wayback Machine., Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi” din Iași, accesat 2022-06-20

[PP-3] Paul Popescu, Marcela Popescu, Algebră Liniară și Geometrie Analitică, Universitatea din Craiova, p. 27, accesat 2022-06-20

[1]

[2]

[3]