Funció d'error

Funció d'error
	Gràfic de la funció d'error
Informació general
Definició general	erf⁡z=2π∫0ze−t2dt
Camps d'aplicació	Probabilitat, termodinàmica
Domini, codomini i imatge
Domini	ℂ
Imatge	(−1,1)
Característiques bàsiques
Paritat	Senar
Característiques específiques
Arrel	0
Derivada	ddzerf⁡z=2πe−z2
Primitiva	∫erf⁡zdz=zerf⁡z+e−z2π+C
Definició amb sèries
Sèrie de Taylor	erf⁡z=2π∑n=0∞z2n+1∏k=1n−z2k

En matemàtiques, la funció d'error (també anomenada funció d'error de Gauss), sovint denotada per $erf$ , és una funció complexa d'una variable complexa definida com:^[1]

$\erf z = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{z} e^{- t^{2}} d t .$

Aquesta integral és una funció sigmoide especial (no elemental) que apareix sovint en equacions de probabilitat, estadístiques i en derivades parcials. En moltes d'aquestes aplicacions, l'argument de la funció és un nombre real. Si l'argument de la funció és real, llavors el valor de la funció també és real.^[2]

En estadística, per a valors no negatius de $x$ , la funció d'error té la següent interpretació: per a una variable aleatòria $Y$ que té una distribució normal amb una mitjana $μ$ igual a 0 i una desviació estàndard $σ$ igual a $1 / \sqrt{2}$ , erf(x) és la probabilitat que Y caigui en el rang [−x, x].

Gràfic de la funció d'error Erf(z) en el pla complex de -2-2i a 2+2i amb colors creats amb la funció de Mathematica 13.1 ComplexPlot3D.

Dues funcions estretament relacionades són la funció d'error complementària ( $erfc$ ) definida com

$erfc z = 1 - \erf z,$

i la funció d'error imaginari ( $erfi$ ) definida com

$erfi z = - i \erf i z,$

on $i$ és la unitat imaginària.^[3]

El nom "funció d'error" i la seva abreviatura $erf$ van ser proposats per JWL Glaisher l'any 1871 a causa de la seva connexió amb "la teoria de la probabilitat, i sobretot la teoria dels errors".^[4] El complement de la funció d'error també va ser discutit per Glaisher en una publicació separada el mateix any.^[5] Per a la "llei de la facilitat" dels errors la densitat dels quals ve donada per

$f (x) = {(\frac{c}{π})}^{\frac{1}{2}} e^{- c x^{2}}$

Aplicacions

Quan els resultats d'una sèrie de mesures es descriuen mitjançant una distribució normal amb desviació estàndard $σ$ i valor esperat 0, llavors $e r f (a / σ / \sqrt{2})$ és la probabilitat que l'error d'una sola mesura estigui entre −a i +a, per a a positiva. Això és útil, per exemple, per determinar la taxa d'error de bits d'un sistema de comunicació digital.

Referències

↑ Andrews, Larry C. Special functions of mathematics for engineers. SPIE Press, 1998, p. 110. ISBN 9780819426161.
↑ «Error functions» (en anglès). http://nlpc.stanford.edu. Arxivat de l'original el 2019-11-01. [Consulta: 6 gener 2023].
↑ Abramowitz, Milton; Irene A. Stegun. Dover. Handbook of Mathematical Functions, 1972, p. 295-309.
↑ Glaisher, James Whitbread Lee London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 42, 7-1871, p. 294–302. DOI: 10.1080/14786447108640568 [Consulta: 6 desembre 2017].
↑ Glaisher, James Whitbread Lee London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 42, 9-1871, p. 421–436. DOI: 10.1080/14786447108640600 [Consulta: 6 desembre 2017].

[1] Andrews, Larry C. Special functions of mathematics for engineers. SPIE Press, 1998, p. 110. ISBN 9780819426161.

[2] «Error functions» (en anglès). http://nlpc.stanford.edu. Arxivat de l'original el 2019-11-01. [Consulta: 6 gener 2023].

[3] Abramowitz, Milton; Irene A. Stegun. Dover. Handbook of Mathematical Functions, 1972, p. 295-309.

[Glaisher1871a-4] Glaisher, James Whitbread Lee London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 42, 7-1871, p. 294–302. DOI: 10.1080/14786447108640568 [Consulta: 6 desembre 2017].

[Glaisher1871b-5] Glaisher, James Whitbread Lee London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 42, 9-1871, p. 421–436. DOI: 10.1080/14786447108640600 [Consulta: 6 desembre 2017].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]