Grup de Coxeter

En matemàtiques, un grup de Coxeter, anomenat així per HSM Coxeter, és un grup abstracte que admet una descripció formal en termes de reflexions (o miralls calidoscòpics). De fet, els grups finits de Coxeter són precisament els grups de reflexió euclidians finits; per exemple, el grup de simetria de cada políedre regular és un grup de Coxeter finit. Tanmateix, no tots els grups de Coxeter són finits, i no tots es poden descriure en termes de simetries i reflexions euclidianes. Els grups de Coxeter es van introduir el 1934 com a abstraccions de grups de reflexió, i els grups finits de Coxeter es van classificar el 1935.^[1]

Els grups de Coxeter troben aplicacions en moltes àrees de les matemàtiques. Exemples de grups finits de Coxeter inclouen els grups de simetria dels polítops regulars i els grups de Weyl de les àlgebres de Lie simples. Exemples de grups infinits de Coxeter inclouen els grups triangulars corresponents a tessel·lacions regulars del pla euclidià i del pla hiperbòlic, i els grups de Weyl de les àlgebres de Kac-Moody de dimensió infinita.^[2]

Definició

Formalment, un grup de Coxeter es pot definir com un grup amb la presentació^[3] $⟨ r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n} ∣ (r_{i} r_{j})^{m_{i j}} = 1 ⟩$ on $m_{i i} = 1$ i $m_{i j} = m_{j i} \geq 2$ és un nombre enter o $\infty$ per $i \neq j$ . Aquí, la condició $m_{i j} = \infty$ significa que no hi ha cap relació de la forma $(r_{i} r_{j})^{m} = 1$ per a qualsevol nombre enter $m \geq 2$ s'hauria d'imposar.

La parella $(W, S)$ on $W$ és un grup de Coxeter amb generadors $S = {r_{1}, \dots, r_{n}}$ s'anomena sistema de Coxeter. Tingueu en compte que en general $S$ no està determinat únicament per $W$ . Per exemple, els grups de Coxeter de tipus $B_{3}$ i $A_{1} \times A_{3}$ són isomorfs però els sistemes de Coxeter no són equivalents, ja que el primer té 3 generadors i el segon té 1 + 3 = 4 generadors (vegeu més avall una explicació d'aquesta notació).

De la definició anterior es poden extreure immediatament diverses conclusions.

La relació vol dir que per a tots ; com a tals, els generadors són involucions.
Si , aleshores els generadors i desplaçament. Això es dedueix de l'observació que

x x = y y = 1

,

juntament amb

x y x y = 1

implica que

x y = x (x y x y) y = (x x) y x (y y) = y x

.

Alternativament, com que els generadors són involucions,

r_{i} = r_{i}^{- 1}

, així

1 = (r_{i} r_{j})^{2} = r_{i} r_{j} r_{i} r_{j} = r_{i} r_{j} r_{i}^{- 1} r_{j}^{- 1}

. És a dir, el commutador de

r_{i}

i

r_{j}

és igual a 1, o equivalentment que

r_{i}

i

r_{j}

desplaçament.

La raó per la qual $m_{i j} = m_{j i}$ per $i \neq j$ s'estipula a la definició és que

$y y = 1$ ,

juntament amb

$(x y)^{m} = 1$

ja implica que

$(y x)^{m} = (y x)^{m} y y = y (x y)^{m} y = y y = 1$ .

Una prova alternativa d'aquesta implicació és l'observació que $(x y)^{k}$ i $(y x)^{k}$ són conjugats: de fet $y (x y)^{k} y^{- 1} = (y x)^{k} y y^{- 1} = (y x)^{k}$ .

Matriu de Coxeter i matriu de Schläfli

La matriu de Coxeter és la $n \times n$ matriu simètrica amb entrades $m_{i j}$ . De fet, cada matriu simètrica amb entrades diagonals exclusivament 1 i entrades no diagonals al conjunt ${2, 3, \dots} \cup {\infty}$ és una matriu de Coxeter.

La matriu de Coxeter es pot codificar convenientment mitjançant un diagrama de Coxeter, segons les regles següents.

Els vèrtexs del graf s'etiqueten amb subíndexs del generador.
Vèrtexs $i$ i $j$ són adjacents si i només si $m_{i j} \geq 3$ .
Una aresta s'etiqueta amb el valor de $m_{i j}$ sempre que el valor sigui $4$ o més gran.

En particular, dos generadors commuten si i només si no estan units per una aresta. A més, si un graf de Coxeter té dos o més components connectats, el grup associat és el producte directe dels grups associats als components individuals. Així, la unió disjunta de gràfics de Coxeter dóna un producte directe de grups de Coxeter.

La matriu de Coxeter, $M_{i j}$ , està relacionat amb la $n \times n$ Matriu de Schläfli $C$ amb entrades $C_{i j} = - 2 \cos (π / M_{i j})$ , però els elements es modifiquen, sent proporcionals al producte escalar dels generadors per parells. La matriu de Schläfli és útil perquè els seus valors propis determinen si el grup de Coxeter és de tipus finit (tots positius), tipus afí (tots no negatius, almenys un zero) o tipus indefinit (si no). El tipus indefinit de vegades es subdivideix encara més, per exemple, en grups hiperbòlics i altres grups de Coxeter. Tanmateix, hi ha diverses definicions no equivalents per als grups hiperbòlics de Coxeter.

Coxeter group	A₁×A₁	A₂	B₂	I₂(5)	G₂
Coxeter diagram
Coxeter matrix	$[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}]$	$[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix}]$	$[\begin{matrix} 1 & 4 \\ 4 & 1 \end{matrix}]$	$[\begin{matrix} 1 & 5 \\ 5 & 1 \end{matrix}]$	$[\begin{matrix} 1 & 6 \\ 6 & 1 \end{matrix}]$
Schläfli matrix	$[\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}]$	$[\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}]$	$[\begin{matrix} 2 & - \sqrt{2} \\ - \sqrt{2} & 2 \end{matrix}]$	$[\begin{matrix} 2 & - ϕ \\ - ϕ & 2 \end{matrix}]$	$[\begin{matrix} 2 & - \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} & 2 \end{matrix}]$

Un exemple

El gràfic $A_{n}$ en quins vèrtexs $1$ a través $n$ es col·loquen en una fila amb cada vèrtex unit per una aresta sense etiquetar als seus veïns immediats és el diagrama de Coxeter del grup simètric $S_{n + 1}$ ; els generadors corresponen a les transposicions $(1 2), (2 3), \dots, (n n + 1)$ . Dues transposicions no consecutives commuten, mentre que multiplicar dues transposicions consecutives dóna un cicle de 3 : $(k k + 1) \cdot (k + 1 k + 2) = (k k + 2 k + 1)$ . Per tant $S_{n + 1}$ és un quocient del grup de Coxeter que té el diagrama de Coxeter $A_{n}$ . Altres arguments mostren que aquesta aplicació de quocient és un isomorfisme.

Abstracció de grups de reflexió

Els grups de Coxeter són una abstracció dels grups de reflexió. Els grups de Coxeter són grups abstractes, en el sentit que es donen mitjançant una presentació. D'altra banda, els grups de reflexió són concrets, en el sentit que cadascun dels seus elements és el compost d'un nombre finit de reflexions geomètriques sobre hiperplans lineals en algun espai euclidià. Tècnicament, un grup de reflexió és un subgrup d'un grup lineal (o diverses generalitzacions) generat per matrius ortogonals de determinant -1. Cada generador d'un grup de Coxeter té ordre 2, cosa que abstrau el fet geomètric que realitzar una reflexió dues vegades és la identitat. Cada relació de la forma $(r_{i} r_{j})^{k}$ , corresponent al fet geomètric que, donats dos hiperplans que es troben en un angle de $π / k$ , la composició de les dues reflexions sobre aquests hiperplans és una rotació per $2 π / k$ , que té ordre k.

D'aquesta manera, cada grup de reflexió es pot presentar com un grup de Coxeter. El contrari és parcialment cert: tot grup finit de Coxeter admet una representació fidel com a grup de reflexió finit d'algun espai euclidià. Tanmateix, no tots els grups infinits de Coxeter admeten una representació com a grup de reflexió.

Els grups finits de Coxeter han estat classificats.

Grups finits de Coxeter

Classificació

Els grups finits de Coxeter es classifiquen segons els seus diagrames de Coxeter.

Els grups finits de Coxeter amb diagrames de Coxeter connectats consten de tres famílies d'un paràmetre de dimensió creixent ( $A_{n}$ per $n \geq 1$ , $B_{n}$ per $n \geq 2$ , i $D_{n}$ per $n \geq 4$ ), una família d'un paràmetre de dimensió dos ( $I_{2} (p)$ per $p \geq 5$ ), i sis grups excepcionals ( $E_{6}, E_{7}, E_{8}, F_{4}, H_{3},$ i $H_{4}$ ). Tot grup finit de Coxeter és el producte directe d'un nombre finit d'aquests grups irreductibles.

Grups de Weyl

Molts, però no tots, són grups de Weyl, i cada grup de Weyl es pot realitzar com un grup de Coxeter. Els grups de Weyl són les famílies $A_{n}, B_{n},$ i $D_{n},$ i les excepcions $E_{6}, E_{7}, E_{8}, F_{4},$ i $I_{2} (6),$ denotat en la notació del grup de Weyl com a $G_{2} .$

Els que no són de Weyl són les excepcions $H_{3}$ i $H_{4},$ i aquells membres de la família $I_{2} (p)$ que no són excepcionalment isomorfs a un grup de Weyl (és a dir, $I_{2} (3) ≅ A_{2}, I_{2} (4) ≅ B_{2},$ i $I_{2} (6) ≅ G_{2}$ ).

Això es pot demostrar comparant les restriccions dels diagrames de Dynkin (no dirigits) amb les restriccions dels diagrames de Coxeter de grups finits: formalment, el graf de Coxeter es pot obtenir del diagrama de Dynkin descartant la direcció de les arestes i substituint cada aresta doble per una aresta etiquetada com a 4 i cada aresta triple per una aresta etiquetada com a 6. També cal tenir en compte que tot grup de Coxeter generat finitament és un grup automàtic. Els diagrames de Dynkin tenen la restricció addicional que les úniques etiquetes d'aresta permeses són 2, 3, 4 i 6, la qual cosa dóna com a resultat l'anterior. Geomètricament, això correspon al teorema de restricció cristalogràfica i al fet que els polítops exclosos no omplen l'espai ni teselegen el pla, per exemple $H_{3},$ el dodecàedre (dualment, icosaedre) no omple l'espai; per $H_{4},$ la de 120 cel·les (dualment, de 600 cel·les) no omple l'espai; per $I_{2} (p)$ un p -gon no enrajola el pla excepte per $p = 3, 4,$ o $6$ (les tessel·lacions triangulars, quadrades i hexagonals, respectivament).

Cal tenir en compte, a més, que els diagrames de Dynkin (dirigits) B_n i C_n donen lloc al mateix grup de Weyl (d'aquí el grup de Coxeter), perquè difereixen com a gràfics dirigits, però coincideixen com a gràfics no dirigits: la direcció importa per als sistemes d'arrels però no per al grup de Weyl; això correspon a que l'hipercub i el polítop creuat són polítops regulars diferents però tenen el mateix grup de simetria.

Propietats

Algunes propietats dels grups irreductibles finits de Coxeter es donen a la taula següent. L'ordre d'un grup reduïble es pot calcular mitjançant el producte dels ordres dels seus subgrups irreduïbles.

Grups de simetria de polítops regulars

El grup de simetria de cada polítop regular és un grup de Coxeter finit. Tingueu en compte que els polítops duals tenen el mateix grup de simetria.

Hi ha tres sèries de polítops regulars en totes les dimensions. El grup de simetria d'un n-simplex regular és el grup simètric S_{n +1}, també conegut com a grup de Coxeter de tipus A _n. El grup de simetria del cub n i el seu dual, el polítop -creuat, és B_n, i es coneix com a grup hiperoctaèdric.

Els polítops regulars excepcionals en dimensions dues, tres i quatre corresponen a altres grups de Coxeter. En dues dimensions, els grups dièdrics, que són els grups _de simetria dels polígons regulars, formen la sèrie I²(p), per a p ≥ 3. En tres dimensions, el grup _de simetria del dodecaedre regular i el seu dual, l'icosaedre regular, és H3, conegut com el grup icosaèdric complet. En quatre dimensions, hi ha tres polítops regulars excepcionals: el de 24 cel·les, el de 120 cel·les i el de 600 cel·les. El primer té _el grup de simetria F⁴, mentre que els altres dos són duals i tenen el grup de simetria H⁴.

_Els grups _de Coxeter de tipus Dn, _E6 _, E7 i E8 són els grups de simetria de certs polítops semiregulars.

Grups afins de Coxeter

Els grups afins de Coxeter formen una segona sèrie important de grups de Coxeter. Aquests no són finits en si mateixos, però cadascun conté un subgrup abelià normal tal que el grup quocient corresponent és finit. En cada cas, el grup quocient és en si mateix un grup de Coxeter, i el gràfic de Coxeter del grup afí de Coxeter s'obté del gràfic de Coxeter del grup quocient afegint un altre vèrtex i una o dues arestes addicionals. Per exemple, per a n ≥ 2, el graf que consisteix en n +1 vèrtexs en un cercle s'obté d'A_n d'aquesta manera, i el grup de Coxeter corresponent és el grup de Weyl afí d' A _n (el grup simètric afí). Per a n = 2, això es pot representar com un subgrup del grup de simetria de la tessel·lació estàndard del pla per triangles equilàters.

En general, donat un sistema d'arrels, es pot construir el diagrama de Stiefel associat, que consisteix en els hiperplans ortogonals a les arrels juntament amb certes translacions d'aquests hiperplans. El grup afí de Coxeter (o grup afí de Weyl) és aleshores el grup generat per les reflexions (afís) al voltant de tots els hiperplans del diagrama.^[4] El diagrama de Stiefel divideix el pla en infinits components connectats anomenats alcoves, i el grup afí de Coxeter actua lliurement i transitivament sobre els alcoves, igual que el grup de Weyl ordinari actua lliurement i transitivament sobre les cambres de Weyl. La figura de la dreta il·lustra el diagrama de Stiefel per a la $G_{2}$ sistema radicular.

Suposem $R$ és un sistema d'arrels irreductible de rang $r > 1$ i deixar $α_{1}, \dots, α_{r}$ sigui un conjunt d'arrels simples. Deixeu, també, $α_{r + 1}$ denota l'arrel més alta. Aleshores, el grup afí de Coxeter es genera per les reflexions ordinàries (lineals) al voltant dels hiperplans perpendiculars a $α_{1}, \dots, α_{r}$ , juntament amb una reflexió afí sobre una translació de l'hiperplà perpendicular a $α_{r + 1}$ . El gràfic de Coxeter per al grup afí de Weyl és el diagrama de Coxeter-Dynkin per a $R$ , juntament amb un node addicional associat a $α_{r + 1}$ . En aquest cas, es pot obtenir una alcova del diagrama de Stiefel prenent la cambra fonamental de Weyl i tallant-la mitjançant una translació de l'hiperplà perpendicular a $α_{r + 1}$ ^[5]

A continuació es mostra una llista dels grups afins de Coxeter:

Grup símbol	Witt símbol	notació Bracket	Graf Coxeter	Tesel·lació(ns) uniforme(s) relacionada(es)
${\tilde{A}}_{n}$	$P_{n + 1}$	[3^[n+1]]	... or ...	Bresca simplectica
${\tilde{B}}_{n}$	$S_{n + 1}$	[4,3^{n − 3},3^1,1]	...	Bresca demihipercúbica
${\tilde{C}}_{n}$	$R_{n + 1}$	[4,3ⁿ⁻²,4]	...	Bresca hipercúbica
${\tilde{D}}_{n}$	$Q_{n + 1}$	[ 3^1,1,3ⁿ⁻⁴,3^1,1]	...	Bresca demihipercúbica
${\tilde{E}}_{6}$	$T_{7}$	[3^2,2,2]	or	2₂₂
${\tilde{E}}_{7}$	$T_{8}$	[3^3,3,1]	or	3₃₁, 1₃₃
${\tilde{E}}_{8}$	$T_{9}$	[3^5,2,1]		5₂₁, 2₅₁, 1₅₂
${\tilde{F}}_{4}$	$U_{5}$	[3,4,3,3]		Bresca de 16 cel·les Bresca de 24 cel·les
${\tilde{G}}_{2}$	$V_{3}$	[6,3]		Hexagonal tiling i Triangular tiling
${\tilde{A}}_{1} = I_{2} (\infty)$	$W_{2}$	[∞]		Apeirogon

El subíndex del símbol del grup és un nombre menys que el nombre de nodes en cada cas, ja que cadascun d'aquests grups s'ha obtingut afegint un node al gràfic d'un grup finit.

Grups hiperbòlics de Coxeter

Hi ha infinits grups de Coxeter hiperbòlics que descriuen grups de reflexió en un espai hiperbòlic, incloent-hi notablement els grups de triangles hiperbòlics.

Grups de Coxeter irreductibles

Es diu que un grup de Coxeter és irreductible si el seu diagrama de Coxeter-Dynkin és connectat. Cada grup de Coxeter és el producte directe dels grups irreductibles que corresponen als components del seu diagrama de Coxeter-Dynkin.

Comandes parcials

Una elecció de generadors de reflexió dóna lloc a una funció de longitud ℓ en un grup de Coxeter, és a dir, el nombre mínim d'usos dels generadors necessaris per expressar un element del grup; aquesta és precisament la longitud a la mètrica de paraules del graf de Cayley. Una expressió per a v utilitzant generadors ℓ (v) és una paraula reduïda. Per exemple, la permutació (13) de S ₃ té dues paraules reduïdes, (12)(23)(12) i (23)(12)(23). La funció $v \to (- 1)^{ℓ (v)}$ defineix un mapa $G \to {\pm 1},$ generalitzant el mapa de signes per al grup simètric.

Usant paraules reduïdes es poden definir tres ordres parcials del grup de Coxeter, l'ordre feble (dret), l' ordre absolut i l'ordre de Bruhat (anomenat així per François Bruhat ). Un element v excedeix un element u en l'ordre de Bruhat si alguna (o equivalentment, qualsevol) paraula reduïda per a v conté una paraula reduïda per a u com a subcadena, on es descarten algunes lletres (en qualsevol posició). En l'ordre feble, v ≥ u si alguna paraula reduïda per a v conté una paraula reduïda per a u com a segment inicial. De fet, la longitud de la paraula converteix això en un poset graduat. Els diagrames de Hasse corresponents a aquests ordres són objectes d'estudi i estan relacionats amb el graf de Cayley determinat pels generadors. L'ordre absolut es defineix de manera anàloga a l'ordre feble, però amb el conjunt generador/alfabet que consisteix en tots els conjugats dels generadors de Coxeter.

Per exemple, la permutació (1 2 3) a S ₃ només té una paraula reduïda, (12)(23), de manera que cobreix (12) i (23) en l'ordre Bruhat però només cobreix (12) en l'ordre feble.

Homologia

Des d'un grup de Coxeter $W$ està generat per un nombre finit d'elements d'ordre 2, la seva abelianització és un 2-grup abelià elemental, és a dir, és isomorf a la suma directa de diverses còpies del grup cíclic $Z_{2}$ . Això es pot reformular en termes del primer grup d'homologia de $W$ .

El multiplicador de Schur $M (W)$ , igual al segon grup d'homologia de $W$ , es va calcular a (Ihara & Yokonuma 1965) per a grups de reflexió finits i a (Yokonuma 1965) per a grups de reflexió afins, amb una explicació més unificada donada a (Howlett 1988). En tots els casos, el multiplicador de Schur és també un 2-grup abelià elemental. Per a cada família infinita ${W_{n}}$ de grups de Weyl finits o afins, el rang de $M (W_{n})$ s'estabilitza com a $n$ va a l'infinit.

Referències

↑ «Coxeter group in nLab» (en anglès). [Consulta: 4 octubre 2026].
↑ «COXETER GROUPS» (en anglès). [Consulta: 4 octubre 2026].
↑ «[https://arxiv.org/pdf/2509.11778 INTRODUCTION TO FINITE COXETER GROUPS AND THEIR REPRESENTATIONS]» (en anglès). [Consulta: 4 octubre 2026].
↑ Hall 2015 Section 13.6
↑ Hall 2015 Chapter 13, Exercises 12 and 13

[1] «Coxeter group in nLab» (en anglès). [Consulta: 4 octubre 2026].

[2] «COXETER GROUPS» (en anglès). [Consulta: 4 octubre 2026].

[3] «[https://arxiv.org/pdf/2509.11778 INTRODUCTION TO FINITE COXETER GROUPS AND THEIR REPRESENTATIONS]» (en anglès). [Consulta: 4 octubre 2026].

[4] Hall 2015 Section 13.6

[5] Hall 2015 Chapter 13, Exercises 12 and 13

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]