Pullback

En matemàtiques, el concepte de pullback té diferents significats segons sigui el context. Els principals són:

Entre conjunts: Donats dos mapatges $f : X \to Y$ i $g : Y \to Z$ la composició $g \cdot f : X \to Z$ pot considerar-se com el pullback de $g$ sota $f$ , i s'escriu simbòlicament $f^{*} (g) = g \cdot f$

En l'àlgebra multilineal, donada una transformació lineal $L : V \to W$ entre dos espais vectorials $V$ i $W$ , i un funcional lineal $f : W \to ℝ$ llavors $L \cdot f : V \to ℝ$ és un nou funcional lineal; d'aquesta manera es construeix el pullback $L^{*} (f) = L \cdot f$ de $f$ . Aquesta idea es generalitza per a una aplicació k-multilineal $f : W \otimes \dots \otimes W \to ℝ$ i $L : V \to W$ lineal, llavors es pot fer el pullback $L^{*} (f) : V \otimes \dots \otimes V \to ℝ$ mitjançant l'artifici

$L^{*} (f) (v_{1} ..., v_{k}) = f (L v_{1} ..., L v_{k})$

En els fibrosos: donat un fibrós $F \subset E \to B$ amb projecció $π$ i un mapatge continu $f : X \to B$ es pot construir un nou fibrós (anomenat el pullback d'E) $F \subset f^{*} E \to X$ mitjançant

$f^{*} E = {(x, e) \in X \times E : f (x) = π (e)}$

Bibliografia

Jürgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See sections 1.5 and 1.6.
Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.7 and 2.3.