Defektní matice

Defektní maticí^[1] se v lineární algebře nazývá čtvercová matice, pro kterou nelze sestavit bázi složenou z vlastních vektorů, a proto není diagonalizovatelná.

Pro řešení defektních soustav obyčejných diferenciálních rovnic a podobných problémů je báze obvykle sestrojena doplněním vlastních vektorů o zobecněné vlastní vektory.

Ukázka

Reálná matice

(\begin{matrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix})

je defektní, protože má dvojnásobné vlastní číslo 3, ale dimenze prostoru vlastních vektorů ${(c, 0)^{T} : c \in ℝ}$ je jen 1.

Vlastnosti

Defektní matice řádu $n$ má méně než $n$ různých vlastních čísel, protože různá vlastní čísla odpovídají navzájem lineárně nezávislým vlastním vektorům. Komplexní defektní matice mají alespoň jedno vlastní číslo $λ$ algebraické násobnosti větší než 1. Pokud je algebraická násobnost vlastního čísla $λ$ větší než jeho geometrická násobnost (čili jeho násobnost coby kořene charakteristického polynomu převyšuje počet jemu příslušných lineárně nezávislých vlastních vektorů), pak se $λ$ nazývá defektní vlastní číslo. Přesto ke každému vlastnímu číslu algebraické násobností $m$ lze nalézt $m$ lineárně nezávislých zobecněných vlastních vektorů.

Reálné symetrické matice, komplexní hermitovské matice a komplexní unitární matice nejsou defektní. Obecněji, normální matice (které zahrnují hermitovské a unitární matice jako speciální případy) nejsou defektní.

Jordanovy bloky

Každý netriviální Jordanův blok rozměru alespoň $2 \times 2$ je defektní. Například Jordanův blok řádu $n$

𝑱 = (\begin{matrix} λ & 1 \\ λ & ⋱ \\ ⋱ & 1 \\ λ \end{matrix})

má vlastní číslo $λ$ s algebraickou násobností $n$ (nebo větší, pokud existují další Jordanovy bloky se stejným vlastním číslem). Tomuto bloku však přísluší pouze jeden vlastní vektor $𝑱 𝒗_{1} = λ 𝒗_{1}$ , kde $𝒗_{1} = (1, 0, \dots, 0)^{T}$ . Ostatní vektory standardní báze, konkrétně $𝒗_{2} = (0, 1, 0 \dots, 0)^{T}, \dots, 𝒗_{n} = (0, \dots, 0, 1)^{T}$ tvoří řetězec zobecněných vlastních vektorů. Tyto vektory splňují $𝑱 𝒗_{k} = λ 𝒗_{k} + 𝒗_{k - 1}$ , pro každé $k \in {2, \dots, n}$ .

Každá komplexní defektní matice má netriviální Jordanovu normální formu, tj. s alespoň jedním blokem řádu větším než 1.

Diagonální matice je speciální případ Jordanovy normální formy se všemi triviálními Jordanovými bloky řádu 1, a proto diagonální matice nejsou defektní.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Defective matrix na anglické Wikipedii.

↑ CYRIL, Höschl. Maticový počet. Praha: Ústav termomechaniky ČSAV, 1978. 123 s. Dostupné online. S. 34.

Literatura

BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1.
HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5.
OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.

Související články

[1] CYRIL, Höschl. Maticový počet. Praha: Ústav termomechaniky ČSAV, 1978. 123 s. Dostupné online. S. 34.

[1]