Hamiltonova funkce

Hamiltonova funkce (též označovaná jako hamiltonián – pod tímto pojmem však bývá obvykle myšlen Hamiltonův operátor) označuje ve fyzice funkci vyjadřující energii fyzikálního systému v zobecněných souřadnicích a hybnostech.

Hamiltonova funkce hraje důležitou úlohu v Hamiltonovské formulaci mechaniky.

Funkce je pojmenována po Williamu Rowanu Hamiltonovi.

Definice

Hamiltonova funkce mechanického systému s $m$ stupni volnosti je definována vztahem:

H (q_{1}, q_{2}, .... q_{m}, p_{1}, p_{2}, .... p_{m}, t) = \sum_{i = 1}^{m} {\dot{q}}_{i} p_{i} - L (q_{1}, q_{2}, .... q_{m}, {\dot{q}}_{1}, {\dot{q}}_{2}, ..., {\dot{q}}_{m}, t)

,

kde $L$ je Lagrangeova funkce systému a na pravé straně jsou zobecněné rychlosti $\dot{𝐪}$ vyjádřené jako funkce zobecněných souřadnic $q_{1}, q_{2}, .... q_{m}$ , zobecněných hybností $p_{1}, p_{2}, .... p_{m}$ a případně času $t$ , tzn.

{\dot{q}}_{j} = {\dot{q}}_{j} (q_{1}, q_{2}, .... q_{m}, p_{1}, p_{2}, .... p_{m}, t)

.

Vlastnosti

Hamiltonova funkce se nemění při pohybu, u kterého Lagrangeova funkce není explicitně závislá na čase. Dosadí-li se totiž Lagrangeovy pohybové rovnice do totální derivace Lagrangeovy funkce:

\frac{d L}{d t} = \sum_{i} \frac{\partial L}{\partial q_{i}} {\dot{q}}_{i} + \sum_{i} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} {\ddot{q}}_{i} + \frac{\partial L}{\partial t} = \sum_{i} \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} {\dot{q}}_{i}) + \frac{\partial L}{\partial t}

,

poslední člen je vzhledem k explicitní nezávislosti lagrangiánu nulový, a dosadí-li se Lagrangeovy pohybové rovnice, vychází:

\frac{d}{d t} [\sum_{i} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} {\dot{q}}_{i}) - L] = \frac{d}{d t} (\sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} - L) = \frac{d H}{d t} = 0

Lagrangeovu funkci $L (q_{1}, q_{2}, .... q_{m}, {\dot{q}}_{1}, {\dot{q}}_{2}, ..., {\dot{q}}_{m}, t)$ lze získat z Hamiltonovy funkce $H (q_{1}, q_{2}, .... q_{m}, p_{1}, p_{2}, .... p_{m}, t)$ dosazením za $p_{j}$ zobecněných souřadnic, rychlostí a času podle Hamiltonových rovnic.

Přechod od Lagrangeovy k Hamiltonově funkci, tedy přechod od proměnných $q_{j}, {\dot{q}}_{j}$ k proměnným $q_{j}, p_{j}$ , se nazývá Legendreova duální transformace.

Hustota hamiltoniánu

Zejména v kvantové teorii pole se používá hustota hamiltoniánu, vyjadřující jeho prostorové rozložení. Vzájemná souvislost je dána vztahem

H = \int ℋ (q_{j} (𝐱), p_{j} (𝐱), t) d^{3} 𝐱

Jednoduché příklady

Hamiltonova funkce pro pohyb volné částice (hmotného bodu):

H = \frac{{\vec{p}}^{2}}{2 m}

Hamiltonova funkce částice s nábojem $q$ v elektromagnetickém poli s elektrickým potenciálem $φ$ a vektorovým potenciálem $\vec{A}$ :

H = \frac{(\vec{p} - q \vec{A})^{2}}{2 m} + q φ

Hamiltonova funkce relativistické částice (pro nenabitou částici odpadá člen s $q$ ):

H = \sqrt{m^{2} c^{4} + (\vec{p} - q \vec{A})^{2} c^{2}} + q φ

Literatura

BRDIČKA, Miroslav; HLADÍK, Arnošt. Teoretická mechanika. Redakce Karel Juliš, Aleš Baďura, Petr Čech. 1. vyd. Praha: Academia, 1987. 584 s. 21-093-87. Kapitola 3.10.1 Hamiltonovy rovnice, 3.10.2 Legendrova duální transformace, s. 329–330.
LEECH, J. W. Klasická mechanika. 1. vyd. Praha: SNTL, 1970. 136 s. (Teoretická knižnice inženýra). 04-012-70. Kapitola Hamiltonova funkce, s. 45–46.

Související články

Pahýl

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.