Kardioida

Kardioida (z řeckého καρδία – srdce) neboli srdcovka je algebraická rovinná křivka 4. stupně (kvartika). Patří mezi kotálnice (cykloidy) a lze ji sestrojit jako trasu pevně daného bodu kružnice, která se kotálí kolem kružnice o stejném poloměru. Zároveň patří mezi konchoidy a lze ji konstruovat tak, že se na kružnici zvolí bod a na všech sečnách procházejících tímto bodem se vezmou body vzdálené od druhého průsečíku právě o poloměr řečené kružnice. Také ji lze získat jako obraz paraboly při kruhové inverzi.

Pojmenoval ji v roce 1741 italský matematik Giovanni Salvemini.

Srdcovka je součástí obrazce ve fraktálu Mandelbrotovy množiny.

Rovnice

Kardioidu lze popsat následujícím parametrickým vyjádřením v kartézských souřadnicích (a je poloměr kružnic při kotálení, počátek je v středu nehybné kružnice):

x = a (2 \cos t - \cos 2 t - 1),

y = a (2 \sin t - \sin 2 t) .

V komplexní rovině tomu odpovídá parametrizace

z = a (2 e^{i t} - e^{2 i t}) .

Příslušná obecná rovnice v kartézských souřadnicích je

(x^{2} + y^{2} - a^{2})^{2} - 4 a^{2} ((x - a)^{2} + y^{2}) = 0,

respektive v komplexní rovině

(z \bar{z} - a^{2})^{2} - 4 a^{2} (z - a) (\bar{z} - a) = 0

.

Další možností je zápis v polárních souřadnicích:

r = 2 a (1 - \cos θ) .

Míry

Délka srdcovky je rovna

l = 16 a

a obsah její vnitřní oblasti

S = 6 π a^{2}

.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cardioid na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu kardioida na Wikimedia Commons
Encyklopedické heslo Kardioida v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích
Slovníkové heslo kardioida ve Wikislovníku
Kardioida v encyklopedii MathWorld (anglicky)