Lambertova funkce W

Lambertova funkce W je speciální funkce používaná při řešení rovnic, které obsahují neznámou jak v základu, tak v exponentu. Nese jméno švýcarského učence Johanna Heinricha Lamberta. Značí se $W (z)$ a je definována jako inverzní relace k funkci $f (w) = w e^{w},$ kde $w$ patří do množiny komplexních čísel. Pro každé komplexní číslo $z$ tedy platí

z = W (z) e^{W (z)} .

Protože funkce $f$ není prostá (injektivní), $W (z)$ je vícehodnotová a dá se chápat jako množina jednoznačných funkcí $W_{k} (z),$ kde $k \in ℤ$ je index větve zobrazení. Pro reálné argumenty je nejdůležitější rostoucí funkce $W_{0} (z)$ popsaná níže, přičemž pro malé záporné reálné argumenty na intervalu $(- 1 / e, 0)$ existuje i druhá možnost daná větví $W_{- 1} (x)$ , což je klesající funkce.

Vlastnosti

Rovnice $x^{x} = z$ má řešení:

x = \frac{\ln (z)}{W (\ln z)} = \exp W (\ln (z)) .

Primitivní funkci k $W$ lze nalézt integrováním substitucí: pokud $w = W (x),$ tak $x = w e^{w} .$ Pak

\int W (x) d x = x (W (x) - 1 + \frac{1}{W (x)}) + C .

Derivace funkce $W$ je

\frac{d W (z)}{d z} = \frac{W (z)}{z (1 + W (z))} p r o z \neq - \frac{1}{e} .

Důkaz

Derivováním rovnice $z = W (z) e^{W (z)}$ podle $z$ dostaneme

1 = W (z) e^{W (z)} W^{'} (z) + W^{'} (z) e^{W (z)} = W^{'} (z) (W (z) e^{W (z)} + e^{W (z)}),

W^{'} (z) = \frac{1}{z + e^{W (z)}} = \frac{W (z)}{W (z) z + W (z) e^{W (z)}} = \frac{W (z)}{z (W (z) + 1)} .

Aplikace

Funkce $W$ se používá v kombinatorice a při řešení diferenciálních rovnic. Pomocí této funkce lze dále vyřešit mnoho transcendentních rovnic zahrnujících mocninu neznámé, pokud je rovnici možné převést na tvar $Y = X e^{X},$ což automaticky dává řešení:

Y = X e^{X} ⟺ X = W (Y) .

Příklad 1

2^{t} = 5 t

\Rightarrow 5 t = e^{t \ln 2}

\Rightarrow \frac{1}{5 t} = e^{- t \ln 2}

\Rightarrow \underset{Y}{\underset{⏟}{- \frac{\ln 2}{5}}} = \underset{X}{\underset{⏟}{- t \ln 2}} e^{\overset{X}{\overset{⏞}{- t \ln 2}}}

\Rightarrow \underset{X}{\underset{⏟}{- t \ln 2}} = W (\underset{Y}{\underset{⏟}{- \frac{\ln 2}{5}}})

\Rightarrow t = - \frac{W (- \frac{\ln 2}{5})}{\ln 2}

Příklad 2

Nekonečné umocňování. Pokud hodnota $z^{z^{z^{\dots}}}$ je konečná, lze ji vypočítat takto:

c = z^{z^{z^{\dots}}},

\Rightarrow c = z^{c} .

Z toho dostaneme:

c = - \frac{W (- \ln z)}{\ln z} .

Aby se dokázalo, že hodnota $z^{z^{z^{\dots}}}$ existuje, je potřeba prozkoumat posloupnost

a = (z, z^{z}, z^{z^{z}}, \dots)

nebo (v rekurzivní formě):

{\begin{matrix} a_{1} = z \\ a_{n} = z^{a_{n - 1}} \end{matrix}

a dokázat existenci limity. Pokud limita existuje, pak platí rovnost

lim_{n \to \infty} a_{n} = c .

Příklad 3

Diferenciální rovnice vyjadřující opožděnou reakci

y^{'} (t) = a y (t - 1)

má charakteristickou rovnici $λ = a e^{- λ},$ takže $λ = W_{k} (a),$ kde $k$ je číslo větve. Pokud $a$ je reálné, stačí vzít v úvahu větev $W_{0} (a)$ . Řešení je tedy:

y (t) = e^{W_{k} (a) t} .

Vybrané hodnoty

$W_{0} (- \frac{π}{2})$	$= \frac{π}{2} i$
$W_{0} (- 1)$	$\approx - 0,31813 + 1,33723 i$
$W_{0} (- \frac{1}{e})$	$= - 1$
$W_{0} (- \frac{\ln 2}{2})$	$= - \ln 2$
$W_{0} (0)$	$= 0$
$W_{0} (e)$	$= 1$
$W_{0} (1)$	$= Ω \approx 0,56714329$ (konstanta známá jako omega)

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Funkcja W Lamberta na polské Wikipedii.

Literatura

Oleszkiewicz Krzysztof, Funkcja Lamberta, „Delta”, 2014, ISSN 0137-3005 (polsky)

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu Lambertova W funkce na Wikimedia Commons
Lambertova funkce W v encyklopedii MathWorld (anglicky)