Maxwell-relation

Maxwell-relationerne er sammenhænge mellem de afledte af forskellige termodynamiske variable.

Fx er den afledte af temperatur $T$ mht. volumen $V$ ved konstant entropi $S$ lig med den negative afledte af tryk $p$ mht. entropi ved konstant volumen:

{(\frac{\partial T}{\partial V})}_{S} = - {(\frac{\partial p}{\partial S})}_{V}

Vha. de termodynamiske potentialer kan adskillige Maxwell-relationer formuleres.^[1]

Udledning

For et arbitrært termodynamisk potential $f$ , der er en funktion af de variable $x$ og $y$ , kan en infinitesimal ændring $d f$ skrives som en ændring langs med $x$ plus en ændring langs med $y$ :

d f = {(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} d x + {(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x} d y

Hvis de partielle afledte kaldes for $F_{x}$ og $F_{y}$

\begin{matrix} F_{x} & = {(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} \\ F_{y} & = {(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x} \end{matrix}

Da $d f$ er et eksakt differential, gælder Clairauts sætning, der siger, at rækkefølgen for differentiering ikke har betydning:

\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}

Dermed gælder den generelle Maxwell-relation:

{(\frac{\partial F_{x}}{\partial y})}_{x} = {(\frac{\partial F_{y}}{\partial x})}_{y}

Denne fremgangsmåde kan anvendes på et hvilket som helst termodynamisk potential:

Eksempel

Som eksempel kan den indre energi $U$ bruges. For et system med tryk-volumen-arbejde er differentialet:

d U = {(\frac{\partial U}{\partial S})}_{V} d S + {(\frac{\partial U}{\partial V})}_{S} d V = T d S - p d V

I forhold til det generelle eksempel svarer de første afledte til:

\begin{matrix} F_{S} & = T \\ F_{V} & = - p \end{matrix}

Ved hjælp af den indre energi findes altså Maxwell-relationen:

\begin{matrix} {(\frac{\partial F_{S}}{\partial V})}_{S} & = {(\frac{\partial F_{V}}{\partial S})}_{V} \\ {(\frac{\partial T}{\partial V})}_{S} & = - {(\frac{\partial p}{\partial S})}_{V} \end{matrix}

Dette er Maxwell-relationen fra indledningen.^[1]

Kildehenvisninger

1 2 Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "16.6 Maxwell's relations". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 170-172. ISBN 978-0-19-856770-7.

Spire

Denne artikel om fysik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.

[blundell_170-172-1] 1 2 Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "16.6 Maxwell's relations". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 170-172. ISBN 978-0-19-856770-7.

[1]