Bockstein-Folge

In der Algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Bockstein-Folge ein Hilfsmittel zum Vergleich von Kohomologiegruppen mit unterschiedlichen Koeffizienten, sie ist nach Meir Bockstein benannt.

Konstruktion

Homologie

Sei

0 \to N \to G \to H \to 0

eine kurze exakte Sequenz abelscher Gruppen und $X$ ein topologischer Raum. Aus der kurzen exakten Sequenz von Kettenkomplexen

0 \to C_{*} (X; N) \to C_{*} (X; G) \to C_{*} (X; H) \to 0

erhält man mittels des Schlangenlemmas eine lange exakte Sequenz von Homologiegruppen

\dots \to H_{* + 1} (X; H) \to H_{*} (X; N) \to H_{*} (X; G) \to H_{*} (X; H) \to H_{* - 1} (X; N) \to \dots

,

die sogenannte Bockstein-Folge oder Bockstein-Sequenz. Der verbindende Homomorphismus $H_{*} (X; H) \to H_{* - 1} (X; N)$ heißt Bockstein-Homomorphismus.

Kohomologie

$0 \to N \to G \to H \to 0$ liefert auch eine kurze exakte Sequenz von Kokettenkomplexen

0 \to C^{*} (X; N) \to C^{*} (X; G) \to C^{*} (X; H) \to 0

und wieder mit dem Schlangenlemma eine lange exakte Sequenz von Kohomologiegruppen

\dots \to H^{* - 1} (X; H) \to H^{*} (X; N) \to H^{*} (X; G) \to H^{*} (X; H) \to H^{* + 1} (X; N) \to \dots

,

die ebenfalls als Bockstein-Folge oder Bockstein-Sequenz bezeichnet wird und der verbindende Homomorphismus $H^{*} (X; H) \to H^{* + 1} (X; N)$ als Bockstein-Homomorphismus.

Beispiele

Die kurze exakte Sequenz $0 \to ℤ \to ℤ \to ℤ / 2 ℤ \to 0$ gibt die Bockstein-Homomorphismen

H_{i} (X; ℤ / 2 ℤ) \to H_{i - 1} (X; ℤ)

und

H^{i} (X; ℤ / 2 ℤ) \to H^{i + 1} (X; ℤ)

.

Der zur kurzen exakten Sequenz $0 \to ℤ / n ℤ \to ℤ / n^{2} ℤ \to ℤ / n ℤ \to 0$ assoziierte Bockstein-Homomorphismus

H^{i} (X; ℤ / n ℤ) \to H^{i + 1} (X; ℤ / n ℤ)

ist von Bedeutung für die Konstruktion der Steenrod-Algebra.

Die zu den kurzen exakten Sequenzen $0 \to ℤ \to ℝ \to ℝ / ℤ \to 0$ und $0 \to ℤ \to ℂ \to ℂ / ℤ \to 0$ assoziierten Bockstein-Homomorphismen

H^{i} (X; ℝ / ℤ) \to H^{i + 1} (X; ℤ)

und

H^{i} (X; ℂ / ℤ) \to H^{i + 1} (X; ℤ)

sind von Bedeutung in der Konstruktion sekundärer charakteristischer Klassen und in der Deligne-Kohomologie.

Literatur

Bockstein, M. (1942). Universal systems of ∇-homology rings. 《C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N.S.)》 37: 243–245. MR0008701.
Bockstein, M. (1943). A complete system of fields of coefficients for the ∇-homological dimension. 《C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N.S.)》 38: 187–189. MR0009115.
Bockstein, M. (1958). Sur la formule des coefficients universels pour les groupes d'homologie. 《Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. Mathématique》 247: 396–398. MR0103918.