Cartan-Matrix

Eine Cartan-Matrix, benannt nach Élie Cartan, ist eine Matrix, die in der mathematischen Theorie der Lie-Algebren zur Klassifikation dieser Algebren verwendet wird.

Cartan-Matrix einer Lie-Algebra

Zur Definition der Cartan-Matrizen werden einige Begriffe und Tatsachen aus der Theorie der Lie-Algebren benötigt, die hier kurz zusammengestellt werden. Es sei $L$ eine endlichdimensionale halbeinfache Lie-Algebra über dem Körper der komplexen Zahlen $ℂ$ . $H$ sei eine darin enthaltene Cartan-Unteralgebra. Für $x \in L$ sei

a d x : L \to L, y \mapsto [x, y]

die sogenannte Adjunktion mit $x$ . In der Theorie der Lie-Algebren zeigt man, dass durch $⟨ x, y ⟩ := S p u r ((a d x) (a d y))$ eine symmetrische, nicht-ausgeartete Bilinearform definiert ist, die sogenannte Killing-Form. Deren Einschränkung auf $H$ ist ebenfalls nicht-ausgeartet, das heißt jedes Element des Dualraums $α \in H^{*}$ ist von der Form

α_{x} : H \to ℂ, y \mapsto ⟨ x, y ⟩

für ein eindeutig bestimmtes $x \in H$ . Mittels des Vektorraumisomorphismus $ι : H \to H^{*}, x \mapsto α_{x}$ überträgt man die Killing-Form zu einer nicht-ausgearteten Bilinearform auf $H^{*}$ , das heißt man setzt $⟨ α, β ⟩ := ⟨ ι^{- 1} (α), ι^{- 1} (β) ⟩$ .

Weiter zeigt man, dass es eine endliche Menge $Φ \subset H^{*} ∖ {0}$ linearer Funktionale $α : H \to ℂ$ gibt, so dass

L = H \oplus \sum_{α \in Φ} L_{α}

wobei

L_{α} := {x \in L | \forall h \in H : \exists n \in ℕ : (a d h - α (h) {i d}_{H})^{n} x = 0}

und $L_{α}$ nicht der Nullraum ist. Aus dieser Menge $Φ$ der sogenannten Wurzeln kann man eine Teilmenge $Φ_{0} \subset Φ$ auswählen, so dass jedes $α \in Φ$ eindeutige Linearkombination der Elemente aus $Φ_{0}$ ist, wobei die Koeffizienten entweder alle positiv oder alle negativ sind. $Φ_{0} = {α_{1}, \dots, α_{l}}$ heißt eine Menge von Fundamentalwurzeln, sie ist eine Vektorraumbasis der Cartan-Unteralgebra $H$ .

Die Cartan-Matrix der Lie-Algebra ist definiert als die Matrix mit Koeffizienten $A_{i, j} := 2 \frac{⟨ α_{i}, α_{j} ⟩}{⟨ α_{i}, α_{i} ⟩}, i, j = 1, \dots l$ .^[1]^[2]

Zwei Cartan-Matrizen heißen äquivalent, wenn sie durch Änderung der Anordnung der Basis auseinander hervorgehen. Da die Basisvektoren $α_{1}, \dots, α_{l}$ beliebig permutiert werden können, kann eine Cartan-Matrix natürlich nur bis auf Äquivalenz eindeutig bestimmt sein. Man kann zeigen, dass die Äquivalenzklasse der Cartan-Matrix nicht von den anderen Wahlmöglichkeiten in obiger Konstruktion abhängt, das heißt nicht von der Wahl der Cartan-Unteralgebra und auch nicht von der Wahl der Fundamentalwurzeln $Φ_{0} \subset Φ$ .

Beispiele

$(2)$ ist die einzige $1 \times 1$ -Matrix, die eine Cartan-Matrix ist.
$(\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix})$ ist Cartan-Matrix der dreidimensionalen, speziellen linearen Lie-Algebra.

Da wir unten eine vollständige Klassifikation aller Cartan-Matrizen angeben, erübrigen sich an dieser Stelle weitere Beispiele.

Eigenschaften

Sei $A = (A_{i, j})_{i, j}$ eine Cartan-Matrix. Dann gilt:

$A_{i, i} = 2$ für alle $i$ .
$A_{i, j} \in {0, - 1, - 2, - 3}$ für alle $i ≠ j$
Wenn $A_{i, j} \in {- 2, - 3}$ so ist $A_{j, i} = - 1$
$A_{i, j} = 0$ genau dann, wenn $A_{j, i} = 0$
$A$ ist regulär, die inverse Matrix hat nur nicht-negative rationale Koeffizienten.^[3]
Es gibt eine Diagonalmatrix $D$ und eine symmetrische Matrix $B$ mit $A = D B$ .

Zerlegbarkeit der Cartan-Matrizen

Ist die Cartan-Matrix einer Lie-Algebra $L$ äquivalent zu einer Matrix der Form

(\begin{matrix} A_{1} & 0 \\ 0 & A_{2} \end{matrix})

mit Untermatrizen $A_{1}$ und $A_{2}$ , so heißt die Cartan-Matrix zerlegbar. Man kann zeigen, dass $A_{1}$ und $A_{2}$ ihrerseits wieder Cartan-Matrizen sind. Dieser Zerlegung entspricht eine direkte Summenzerlegung

L = L_{1} \oplus L_{2}

in Ideale $L_{1}$ und $L_{2}$ , dabei ist $A_{i}$ Cartan-Matrix von $L_{i}$ . Es genügt daher alle unzerlegbaren Cartan-Matrizen zu kennen, diese gehören dann zu einfachen Lie-Algebren.

Bedeutung

Die Zuordnung

Isomorphieklassen endlichdimensionaler einfacher Lie-Algebren

\mapsto

Äquivalenzklassen von Cartan-Matrizen

ist eine vollständige Isomorphie-Invariante, d. h.

Isomorphe endlichdimensionale einfache Lie-Algebren haben äquivalente Cartan-Matrizen.
Endlichdimensionale einfache Lie-Algebren mit äquivalenten Cartan-Matrizen sind isomorph.

Klassifikation der unzerlegbaren Cartan-Matrizen

Man kann alle unzerlegbaren Cartan-Matrizen (bis auf Äquivalenz) angeben. Die Benennung in der folgenden Aufzählung folgt der üblichen Klassifikation endlichdimensionaler einfacher Lie-Algebren.^[4]^[5]

A_{n} = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}) n \geq 1

B_{n} = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 2 & 2 \end{matrix}) n \geq 2

C_{n} = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 2 \\ - 1 & 2 \end{matrix}) n \geq 3

D_{n} = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \\ - 1 & 2 \end{matrix}) n \geq 4

E_{6} = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix})

E_{7} = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix})

E_{8} = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix})

F_{4} = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 2 & 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix})

G_{2} = (\begin{matrix} 2 & - 3 \\ - 1 & 2 \end{matrix})

Existenzsatz

In der Theorie der Lie-Algebren zeigt man mit einigem Aufwand, dass jede endlichdimensionale einfache Lie-Algebra eine Cartan-Matrix aus obiger Liste haben muss. Wesentlich schwieriger ist der Beweis, dass es zu jeder dieser Cartan-Matrizen $A = (A_{i, j})_{i, j}$ tatsächlich eine passende endlichdimensionale einfache Lie-Algebra gibt. Dass das in der Tat so ist, besagt der sogenannte Existenzsatz. Natürlich könnte man zu jeder der angegebenen Matrizen eine endlichdimensionale einfache Lie-Algebra angeben und nachrechnen, dass deren Cartan-Matrix die vorgegebene Matrix ist. In einer allgemeinen Konstruktion betrachtet man die von Erzeugern ${e_{1}, \dots, e_{n}, h_{1}, \dots, h_{n}, f_{1}, \dots, f_{n}}$ frei erzeugte Lie-Algebra mit Relationen

[h_{i}, h_{j}]

[h_{i}, e_{j}] - A_{i, j} e_{j}

[h_{i}, f_{j}] + A_{i, j} f_{j}

[e_{i}, f_{i}] - h_{i}

[e_{i}, f_{j}]

für

i ≠ j

[e_{i}, [e_{i} [\dots [e_{i}, e_{j}]]]]

mit

i ≠ j

und

1 - A_{i, j}

Vorkommen von

e_{i}

[f_{i}, [f_{i} [\dots [f_{i}, f_{j}]]]]

mit

i ≠ j

und

1 - A_{i, j}

Vorkommen von

f_{i}

.

Von dieser Lie-Algebra kann man zeigen, dass es sich um eine endlichdimensionale einfache Lie-Algebra mit passender Cartan-Matrix handelt. Eine besondere Schwierigkeit liegt im Nachweis der endlichen Dimension.^[6] Das ist der auf Jean-Pierre Serre zurückgehende Beweis des Existenzsatzes. Man beachte, dass diese allgemeine Konstruktion nur von den Daten der vorgelegten Cartan-Matrix abhängt. Das zeigt noch einmal, dass die Kenntnis der Cartan-Matrix die endlichdimensionale einfache Lie-Algebra bestimmt.

Beziehung zu Dynkin-Diagrammen

Die Cartan-Matrizen stehen in enger, wechselseitiger Beziehung zu den Dynkin-Diagrammen. Zu jeder Cartan-Matrix $A = (A_{i, j})_{i, j}$ mit unterem Index $n$ konstruiert man einen Graphen, den man dann das zugehörige Dynkin-Diagramm nennt, mit $n$ Knoten ${x_{1}, \dots, x_{n}}$ und verbindet je zwei verschiedene Knoten $x_{i}$ und $x_{j}$ durch $A_{i, j} A_{j, i}$ Kanten. Sind $x_{i}$ und $x_{j}$ durch mehr als eine Kante verbunden, so setzt man noch einen Winkel > durch diese Kanten, wobei das spitze Ende genau dann zu $x_{j}$ zeigt, wenn $| A_{j, i} | > | A_{i, j} |$ .^[7] Aus dem Dynkin-Diagramm kann man die Cartan-Matrix zurückgewinnen. Die Unzerlegbarkeit auf der Seite der Cartan-Matrizen korrespondiert genau zum Zusammenhang der Dynkin-Diagramme. In nebenstehender Zeichnung sind alle Dynkin-Diagramme zu den unzerlegbaren Cartan-Matrizen $A_{n}, B_{n}, C_{n}, D_{n}, E_{6}, E_{7}, E_{8}, F_{4}, G_{2}$ angegeben.

Einzelnachweise

↑ Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 6.1: The Cartan matrix
↑ James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag (1972), ISBN 0-387-90052-7, Kapitel 11.1: Cartan matrix of $Φ$
↑ Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Satz 10.18
↑ Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 6.4: Classification of Cartan matrices
↑ James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag (1972), ISBN 0-387-90052-7, Kapitel 11.4: Classification Theorem
↑ Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 7.5: The existence theorem
↑ Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 6.4: Classification Cartan matrices

[1] Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 6.1: The Cartan matrix

[2] James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag (1972), ISBN 0-387-90052-7, Kapitel 11.1: Cartan matrix of $Φ$

[3] Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Satz 10.18

[4] Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 6.4: Classification of Cartan matrices

[5] James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag (1972), ISBN 0-387-90052-7, Kapitel 11.4: Classification Theorem

[6] Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 7.5: The existence theorem

[7] Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 6.4: Classification Cartan matrices

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