club-Menge

Als club-Menge wird in der Mengenlehre eine Teilmenge einer Limesordinalzahl bezeichnet, die abgeschlossen und unbeschränkt (engl. closed und unbounded) ist.

Definition

Sei $λ$ eine Limesordinalzahl. Eine Teilmenge $x \subseteq λ$ heißt

abgeschlossen, wenn für jede Folge $⟨ α_{ξ} \in x ∣ ξ < μ ⟩$ aus $x$ gilt:
$lim_{ξ \to μ} α_{ξ} = δ \in λ \Rightarrow δ \in x,$
unbeschränkt, wenn für alle $α \in λ$ ein $β \in x$ existiert mit $α \leq β$ .

$x$ heißt club-Menge, falls $x$ sowohl abgeschlossen als auch unbeschränkt ist.

Beispiele

Für $λ = ω$ ist die Bedingung der Abgeschlossenheit trivialerweise erfüllt, weil es keine Limesordinalzahlen unter $ω$ gibt; club-Mengen von $ω$ sind also lediglich unbeschränkte, d. h. unendliche Teilmengen der natürlichen Zahlen.

Fasst man $λ$ und die Klasse der Ordinalzahlen $Ord$ mittels der Ordnungstopologie als topologische Räume auf, so ist das Bild jeder stetigen, monoton steigenden Funktion $f : λ \to Ord$ eine club-Menge.

Der club-Filter

Ist die Konfinalität der Limesordinalzahl $λ$ überabzählbar, $cf λ > ω$ , so ist der Schnitt zweier club-Mengen wieder eine club-Menge. Setzt man $𝒞_{λ} = {x \subseteq λ ∣ \exists C \subseteq x C club}$ , so bildet $𝒞_{λ}$ also einen Filter, den club-Filter. Er hat unter anderem folgende Eigenschaften:

$𝒞_{λ}$ ist $cf λ$ -vollständig: Ist $γ \in cf λ$ und $C_{α} \in 𝒞_{λ}$ für $α \in γ$ , so gilt
$⋂_{α \in γ} C_{α} \in 𝒞_{λ} .$
Ist $λ$ eine reguläre Kardinalzahl, so ist $𝒞_{λ}$ abgeschlossen gegenüber sogenannten diagonalen Schnitten: Ist $⟨ C_{α} ∣ α \in λ ⟩$ eine Familie von club-Mengen aus $𝒞_{λ}$ , so ist
$△_{α \in λ} C_{α} := {β \in λ ∣ β \in ⋂_{α \in β} C_{α}} \in 𝒞_{λ} .$

Das zu $𝒞_{λ}$ duale Ideal, definiert durch $ℐ_{λ} = {D \subseteq λ ∣ λ ∖ D \in 𝒞_{λ}}$ , wird als Ideal der dünnen Teilmengen bezeichnet.

Eine Menge $S \subseteq λ$ heißt stationär, falls sie nicht dünn ist, also $S \notin ℐ_{λ}$ gilt. Eine Menge ist genau dann stationär, wenn ihr Schnitt mit jeder club-Menge nicht leer ist.

Siehe auch

Literatur

Thomas Jech: Set Theory. 3rd millenium edition, revised and expanded, corrected 4th print. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-44085-2.