Invariantes Polynom

In der Mathematik ist ein invariantes Polynom ein Polynom $P$ auf einem Vektorraum (siehe Symmetrische Algebra), welches unter der Wirkung einer Gruppe $G$ auf dem Vektorraum $V$ invariant ist, also

P (g x) = P (x)

für alle $g \in G, x \in V$ erfüllt.

Invariante Polynome in der Linearen Algebra

Sei $𝕂$ ein Körper und $V = Mat (n, 𝕂)$ der Vektorraum aller $n \times n$ -Matrizen über $𝕂$ . Die allgemeine lineare Gruppe $GL (n, 𝕂)$ wirkt auf $V$ durch Konjugation:

g x := g x g^{- 1}

für

g \in GL (n, 𝕂), x \in Mat (n, 𝕂)

.

Invariante Polynome sind in diesem Fall Funktionen $P : Mat (n, 𝕂) \to 𝕂$ mit $P (g x g^{- 1}) = P (x)$ für alle $g \in GL (n, 𝕂), x \in Mat (n, 𝕂)$ .

Beispiele sind die Spur und die Determinante von Matrizen. Allgemeiner kann man (mit einer formalen Variable $t$ ) die Entwicklung

det (t A + I) = \sum_{k = 0}^{n} c_{k} (A) t^{k}

betrachten und erhält invariante Polynome $c_{0}, \dots, c_{n}$ . ( $c_{1}$ ist die Spur und $c_{n}$ die Determinante. Falls $𝕂$ algebraisch abgeschlossen ist, dann ist allgemein $c_{k}$ das k-te elementarsymmetrische Polynom in den Eigenwerten von $A$ .)

Invariante Polynome in der Theorie der Lie-Gruppen

Sei $G$ eine Lie-Gruppe und $𝔤$ ihre Lie-Algebra. Ein Polynom auf $𝔤$ ist ein Polynom (mit reellen Koeffizienten) in den Basisvektoren von $𝔤$ , siehe Symmetrische Algebra.

Die Gruppe $G$ wirkt auf sich selbst durch Konjugation: $c_{g} (h) := g h g^{- 1}$ für alle $h \in G$ . Das Differential von $c_{g}$ ist eine lineare Abbildung

Ad (g) := D (c_{g})_{e} : 𝔤 \to 𝔤

,

dies definiert die sogenannte adjungierte Darstellung der Gruppe $G$ auf dem Vektorraum $𝔤$ .

Ein invariantes Polynom ist ein Polynom auf $𝔤$ , welches invariant unter der adjungierten Wirkung ist, also

P (Ad (g) X_{1}, \dots, Ad (g) X_{k}) = P (X_{1}, \dots, X_{k})

für alle

g \in G, X_{1}, \dots, X_{k} \in 𝔤

erfüllt. Die Algebra der invarianten Polynome wird mit $I^{*} (𝔤)$ bezeichnet.

Beispiel G=GL(n,ℝ)

In diesem Fall ist $𝔤 = Mat (n, ℝ)$ und $A d (g) (A) = g A g^{- 1}$ für $g \in GL (n, ℝ), A \in Mat (n, ℝ)$ . Für $k \in ℕ$ sei $P_{\frac{k}{2}}$ das homogene Polynom vom Grad $k$ , dessen Wert auf $(A, \dots, A)$ man als Koeffizienten vom Grad $n - k$ im Polynom

det (λ 𝕀 - \frac{1}{2 π} A) = \sum_{k} P_{\frac{k}{2}} (A, \dots, A) λ^{n - k}

erhält, für alle $A \in Mat (n, ℝ)$ . (Die Werte für die $(A, \dots, A)$ legen ein Polynom bereits eindeutig fest.) Das Polynom $P_{\frac{k}{2}}$ heißt das $\frac{k}{2}$ -te Pontrjagin-Polynom.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den $P_{\frac{k}{2}} \in I^{k} (𝔤 𝔩 (n, ℝ))$ erzeugt.

Beispiel G=O(n)

Für $A \in 𝔬 (n)$ gilt $A = - A^{T}$ , woraus zunächst $det (λ 𝕀 - \frac{1}{2 π} A) = det (λ 𝕀 + \frac{1}{2 π} A)$ und damit dann $P_{\frac{k}{2}} = 0$ für alle ungeraden $k$ folgt.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den $P_{k} \in I^{2 k} (𝔬 (n))$ erzeugt.

Beispiel G=SO(n)

Falls $n = 2 m$ gerade ist, hat man zusätzlich noch die Pfaffsche Determinante, die für $A = (a_{i j})$ mit $a_{i j} = - a_{j i}$ definiert ist durch

P f (A, \dots, A) = \frac{1}{2^{2 m} π^{m} m!} \sum_{σ \in S_{2 m}} s i g n (σ) a_{σ (1) σ (2)} \dots a_{σ (2 m - 1) σ (2 m)}

.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den Pontrjagin-Polynomen $P_{k} \in I^{2 k} (𝔰 𝔬 (n))$ und – falls $n$ gerade ist – der (auch als Euler-Polynom bezeichneten) Pfaffschen Determinante $P f \in I^{\frac{n}{2}} (𝔰 𝔬 (n))$ erzeugt.

Beispiel G=GL(n,ℂ)

Für $k \in ℕ$ sei $C_{\frac{k}{2}}$ das komplex-wertige homogene Polynom vom Grad $k$ , dessen Wert auf $(A, \dots, A)$ man als Koeffizienten vom Grad $n - k$ im Polynom

det (λ 𝕀 - \frac{1}{2 π i} A) = \sum_{k} C_{k} (A, \dots, A) λ^{n - k}

erhält, für alle $A \in Mat (n, ℂ)$ . Das Polynom $C_{k}$ heißt das $k$ -te Chern-Polynom. Die Chern- und Pontrjagin-Polynome hängen über die Gleichung $i^{k} C_{k} (A, \dots, A) = P_{\frac{k}{2}} (A, \dots, A)$ zusammen.

Die Algebra der komplex-wertigen invarianten Polynome wird von den $C_{k} \in I^{k} (𝔤 𝔩 (n, ℂ))$ erzeugt.

Beispiel G=U(n)

Für $A \in 𝔲 (n)$ ist $A = - A^{H}$ und damit $det (λ 𝕀 - \frac{1}{2 π i} A) = \overline{det (λ 𝕀 - \frac{1}{2 π i} A)},$ deshalb sind die Chern-Polynome auf $𝔲 (n)$ reell-wertig.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den $C_{k} \in I^{k} (𝔲 (n))$ erzeugt.

Literatur

Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu: Foundations of differential geometry. Vol. I, II. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 15 Vol. II Interscience Publishers John Wiley & Sons, Inc., New York-London-Sydney 1969.
Johan L. Dupont: Curvature and characteristic classes. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1978. ISBN 3-540-08663-3