Mahlers 3/2-Problem

Mahlers 3/2-Problem ist ein ungelöstes Problem in der analytischen Zahlentheorie, das die Existenz von sogenannten Z-Zahlen betrifft. Dabei handelt es sich um von null verschiedene reelle Zahlen, deren Produkte mit allen Potenzen von $\frac{3}{2}$ stets Nachkommaanteile besitzen, die kleiner als $1 / 2$ sind. Kurt Mahler vermutete 1968, dass es keine Z-Zahlen gibt.^[1]

Problemstellung

Sei $x$ eine von null verschiedene reelle Zahl. Für jede natürliche Zahl $n \geq 0$ lässt sich das Produkt von $x$ mit einer Potenz von $\frac{3}{2}$ in einen Ganzzahl- und einen Nachkommaanteil zerlegen

x {(\frac{3}{2})}^{n} = g_{n} + r_{n},

wobei

g_{n} = {\begin{matrix} ⌊ x (3 / 2)^{n} ⌋, & wenn x > 0, \\ ⌈ x (3 / 2)^{n} ⌉, & wenn x < 0, \end{matrix}

den Ganzzahlanteil bezeichnet und $0 \leq | r_{n} | < 1$ der Nachkommaanteil ist.

$x$ ist nun genau dann eine Z-Zahl, wenn die Nachkommaanteile $| r_{n} |$ für alle $n \geq 0$ im Intervall

0 \leq | r_{n} | < 1 / 2

liegen. Die Vermutung ist nun, dass keine Z-Zahl existiert.

Resultate

Mahler bewies, dass die Menge der Z-Zahlen höchstens abzählbar ist. Er zeigte folgendes Resultat^[2]

Für genügend große $x > 0$ existieren höchstens $x^{0.7}$ positive Z-Zahlen im Intervall $[0, x]$ , das bedeutet, dass für hinreichend große $x$ gilt

| {α \in [0, x] ∣ α ist eine Z-Zahl} | \leq x^{0.7}

.

Sein Beweis basiert auf der Tatsache, dass der Nachkommaanteil einer Z-Zahl (falls sie existiert) eine Erweiterung zur Basis $3 / 2$ besitzt, die vollständig durch den Ganzzahlanteil der Zahl bestimmt wird.

2008 zeigten Shigeki Akiyama, Christiane Frougny und Jacques Sakarovitch (Korollar 4)^[3]

Die Menge der positiven Zahlen $x > 0$ , für die der Nachkommaanteil $r_{n} := {x (3 / 2)^{n}}$ für alle $n \in ℕ_{0}$ in

r_{n} \in [0, 1 / 3) \cup [2 / 3, 1)

liegt, ist abzählbar unendlich.

Hier bedeutet ${x} := x - ⌊ x ⌋$ der Nachkommateil der positiven Zahlen. Aus der Aussage folgt, dass es abzählbar unendlich viele $x \in ℝ$ gibt, so dass der Abstand von $x (3 / 2)^{n}$ zur nächsten ganzen Zahl für alle $n \geq 0$ kleiner als $1 / 3$ ist:

‖ x (3 / 2)^{n} ‖ = min_{m \in ℤ} | x (3 / 2)^{n} - m | < 1 / 3 \forall n \in ℕ_{0} .

Verallgemeinerungen

Allgemeiner definiert man für eine reelle Zahl α die Größe Ω(α) als

Ω (α) = inf_{θ > 0} (\underset{n \to \infty}{lim sup} {θ α^{n}} - \underset{n \to \infty}{lim inf} {θ α^{n}}) .

Mahlers Vermutung würde somit implizieren, dass Ω(3/2) größer als 1/2 ist. Flatto, Lagarias und Pollington zeigten, dass

Ω (\frac{p}{q}) > \frac{1}{p}

für rationale p/q > 1 in gekürzter Form gilt. Gekürzt bedeutet für den größten gemeinsamen Teiler gilt $g g T (p, q) = 1$ .

Literatur

Leopold Flatto, Jeffrey C. Lagarias, Andrew D. Pollington: On the range of fractional parts of ζ {(p/q)ⁿ}}. In: Acta Arithmetica. Band 70, Nr. 2, 1995, S. 125–147, doi:10.4064/aa-70-2-125-147.
Graham Everest, Alf van der Poorten, Igor Shparlinski, Thomas Ward: Recurrence sequences. Mathematical Surveys and Monographs. Band 104. American Mathematical Society, Providence RI 2003.

Einzelnachweise

↑ Kurt Mahler: An unsolved problem on the powers of 3/2. In: Journal of the Australian Mathematical Society. Band 8, Nr. 2, 1968, S. 313–321, doi:10.1017/S1446788700005371.
↑ Kurt Mahler: An unsolved problem on the powers of 3/2. In: Journal of the Australian Mathematical Society. Band 8, Nr. 2, 1968, S. 321, doi:10.1017/S1446788700005371.
↑ Shigeki Akiyama, Christiane Frougny und Jacques Sakarovitch: Powers of rationals modulo 1 and rational base number systems. In: Israel Journal of Mathematics. Band 168, 2007, S. 56, doi:10.1007/s11856-008-1056-4.

[1] Kurt Mahler: An unsolved problem on the powers of 3/2. In: Journal of the Australian Mathematical Society. Band 8, Nr. 2, 1968, S. 313–321, doi:10.1017/S1446788700005371.

[2] Kurt Mahler: An unsolved problem on the powers of 3/2. In: Journal of the Australian Mathematical Society. Band 8, Nr. 2, 1968, S. 321, doi:10.1017/S1446788700005371.

[3] Shigeki Akiyama, Christiane Frougny und Jacques Sakarovitch: Powers of rationals modulo 1 and rational base number systems. In: Israel Journal of Mathematics. Band 168, 2007, S. 56, doi:10.1007/s11856-008-1056-4.

[1]

[2]

[3]