Rayleighsche Dissipationsfunktion

Die Rayleighsche Dissipationsfunktion ist ein von Lord Rayleigh 1876^[1]^[2] eingeführter Ansatz für eine geschwindigkeitsabhängige Reibungskraft in der klassischen Mechanik. Er lässt sich auch im Lagrange-Formalismus der klassischen Mechanik formulieren.

Der Lagrangeformalismus beschreibt die Dynamik eines Systems über die Lagrangefunktion $L = T - V$ (mit $T$ der kinetischen Energie und $V$ der potentiellen Energie), wobei diese als Funktion von generalisierten Koordinaten $q_{i}$ (und $\dot{q_{i}}$ für die zugehörige generalisierte Geschwindigkeit) aufgefasst wird (wobei der Index $i$ die Komponenten bezeichnet). Dann kann man geschwindigkeitsabhängige Reibungskräfte über eine nicht-konservative generalisierte Kraft $Q_{i}^{*}$ auf der rechten Seite der Lagrangegleichung berücksichtigen (siehe auch den Artikel Lagrange-Formalismus):

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}} - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q_{i}}} + \frac{\partial T}{\partial q_{i}} - \frac{\partial V}{\partial q_{i}} = Q_{i}^{*}

Rayleigh machte nun für die Reibungskraft $F_{i}$ in euklidischen Koordinaten $r_{i}$ (mit zugehöriger euklidischer Geschwindigkeit $v_{i}$ ) folgenden Ansatz:

F_{i} = - \sum_{j} K_{i j} v_{j}

mit der Dissipationsmatrix $K_{i j}$ . Die zugehörige Dissipationsfunktion

K = \frac{1}{2} \sum_{i, j} K_{i j} v_{i} v_{j}

ist im einfachsten Fall einer diagonalen Dissipationsmatrix^[3]

K = \frac{1}{2} \sum_{i} k_{i} v_{i}^{2}

Mit der Dissipationsfunktion ist die Reibungskraft demnach:

F_{i} = - \frac{\partial}{\partial v_{i}} K

Beim Übergang zu generalisierten Koordinaten $q_{i}$ ergibt sich

Q_{i}^{*} = \sum_{j} F_{j} \frac{\partial r_{j}}{\partial q_{i}}

Wegen $v_{i} (t, q, \dot{q}) = \sum_{k} \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{k}} \dot{q_{k}} + \frac{\partial r_{i}}{\partial t}$ gilt:

\frac{\partial v_{i}}{\partial \dot{q_{k}}} = \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{k}}

und damit

Q_{i}^{*} = - \sum_{j} \frac{\partial K}{\partial v_{j}} \frac{\partial v_{j}}{\partial \dot{q_{i}}} = - \frac{\partial K}{\partial \dot{q_{i}}}

Daneben kann es auch andere, nicht durch einen Rayleigh-Ansatz beschreibbare nicht-konservative generalisierte Kräfte zur Beschreibung von Reibung geben.

Gegeben die Rayleighsche Dissipationsfunktion

ℱ = \frac{1}{2} \sum_{i, j = 1}^{n} k_{i j} {\dot{q}}_{i} {\dot{q}}_{j}

mit $n \in ℕ$ und Koeffizienten $k_{i j} \in ℝ$ lässt sich für

T = T ({\dot{q}}_{i}, q_{i})

und

V = V (q_{i})

die zeitliche Änderungsrate der Gesamtenergie durch Reibung wie folgt angeben:^[4]

\frac{d (T + V)}{d t} = - 2 ℱ

In Ausdrücken von gegen Reibung verrichteter Arbeit ergibt sich für die Leistung $P$ :

d W = - \sum_{i = 1}^{n} Q_{i}^{*} d q_{i} = - \sum_{i, j = 1}^{n} k_{i j} {\dot{q}}_{i} {\dot{q}}_{j} d t = - 2 ℱ d t \Rightarrow \frac{d W}{d t} = P = - 2 ℱ

wobei die generalisierten Kräfte beschrieben sind durch

Q_{i}^{*} = - \frac{\partial ℱ}{\partial {\dot{q}}_{i}}

.

Literatur

Ettore Minguzzi: Rayleigh’s Dissipation Function at Work. In: European Journal of Physics. Band 36, Nr. 3, 2015, 035014, arxiv:1409.4041.

Einzelnachweise

↑ Rayleigh, Some general theorems related to vibration, Proc. London Math. Soc. s1-4, 1877, S. 357–368
↑ Lord Rayleigh, The theory of Sound, Macmillan 1877, Band 1, Kapitel 4, Paragraph 81
↑ So in Goldstein, Klassische Mechanik, 8. Auflage, Aula-Verlag 1985, S. 24
↑ Alessandra Celetti: Conservative and Dissipative Models of Celestial Mechanics. Springer, Cham 2025, ISBN 978-3-032-01865-6, S. 15–18.

[1] Rayleigh, Some general theorems related to vibration, Proc. London Math. Soc. s1-4, 1877, S. 357–368

[2] Lord Rayleigh, The theory of Sound, Macmillan 1877, Band 1, Kapitel 4, Paragraph 81

[3] So in Goldstein, Klassische Mechanik, 8. Auflage, Aula-Verlag 1985, S. 24

[4] Alessandra Celetti: Conservative and Dissipative Models of Celestial Mechanics. Springer, Cham 2025, ISBN 978-3-032-01865-6, S. 15–18.

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