Tor (Mathematik)

Der Tor-Funktor ist ein mathematischer Begriff aus dem Teilgebiet der homologischen Algebra. Es handelt sich um einen Bi-Funktor, der bei der Untersuchung des Tensorprodukts auftritt. Er ist neben dem Ext-Funktor eine der wichtigsten Konstruktionen der homologischen Algebra.

Motivation mittels Tensorprodukten

Wir betrachten Kategorien von Moduln über einem Ring $R$ . Ist

0 \to X \overset{α}{\to} Y \overset{β}{\to} Z \to 0

eine kurze exakte Sequenz von Links- $R$ -Moduln und Modul-Morphismen und ist $A$ ein Rechts- $R$ -Modul, so führt das Tensorieren obiger Sequenz von links mit $A$ zu einer exakten Sequenz

A \otimes_{R} X \overset{{i d}_{A} \otimes α}{\to} A \otimes_{R} Y \overset{{i d}_{A} \otimes β}{\to} A \otimes_{R} Z \to 0

von abelschen Gruppen, die sich im Allgemeinen nicht mit dem Nullobjekt nach links zu einer exakten Sequenz fortsetzen lässt, das heißt ${i d}_{A} \otimes α$ ist im Allgemeinen nicht injektiv, oder kurz: Der Tensorfunktor ist rechtsexakt aber im Allgemeinen nicht linksexakt.

Als Beispiel betrachte man die kurze exakte Sequenz

0 \to ℤ \overset{α}{\to} ℤ \overset{β}{\to} ℤ_{2} \to 0

von $ℤ$ -Moduln, wobei $α (n) := 2 n$ und $β$ die natürliche Abbildung von $ℤ$ auf die Restklassengruppe $ℤ_{2} = {\overline{0}, \overline{1}}$ sei. Tensoriert man diese Sequenz mit $ℤ_{2}$ , so ist ${i d}_{ℤ_{2}} \otimes α$ nicht injektiv, denn es ist

({i d}_{ℤ_{2}} \otimes α) (\overline{1} \otimes 1) = {i d}_{ℤ_{2}} (\overline{1}) \otimes α (1) = \overline{1} \otimes 2 \cdot 1 = 2 \cdot \overline{1} \otimes 1 = \overline{0} \otimes 1 = 0

.

Dabei wurde der Faktor 2 von der torsionsfreien Gruppe $ℤ$ mittels Tensoroperation in die Torsionsgruppe $ℤ_{2}$ verschoben und hat dort zu einer 0 geführt. Das ist der typische Grund, warum die Injektivität des Morphismus $α$ beim Übergang zur tensorierten Sequenz verloren geht. Die fehlende Injektivität führt zum Auftreten eines Kerns und gibt Anlass zu folgender Definition.

Definition

Es seien $A$ ein Rechts- $R$ -Modul und $B$ ein Links- $R$ -Modul. Weiter sei

0 \to S \overset{μ}{\to} P \overset{ν}{\to} B \to 0

eine kurze exakte Sequenz mit projektivem Modul $P$ . Dann definiert man die abelsche Gruppe

Tor (A, B) := \ker (A \otimes_{R} S \overset{{i d}_{A} \otimes μ}{\to} A \otimes_{R} P)

und man kann zeigen, dass diese Definition nicht von der gewählten exakten Sequenz $0 \to S \to P \to B \to 0$ mit projektivem $P$ abhängt. Das rechtfertigt die Schreibweise $Tor (A, B)$ ohne Hinweis auf diese Sequenz. Manchmal fügt man noch den Ring $R$ an und schreibt ${Tor}^{R} (A, B)$ .

Ist $α : A \to A^{'}$ ein Morphismus, so entnimmt man dem kommutativen Diagramm

\begin{matrix} A \otimes_{R} S & \overset{{i d}_{A} \otimes μ}{\to} & A \otimes_{R} P & \overset{{i d}_{A} \otimes ν}{\to} & A \otimes_{R} B & \to 0 \\ ↓_{α \otimes {i d}_{S}} & ↓_{α \otimes {i d}_{P}} & ↓_{α \otimes {i d}_{B}} \\ A^{'} \otimes_{R} S & \overset{{i d}_{A^{'}} \otimes μ}{\to} & A^{'} \otimes_{R} P & \overset{{i d}_{A^{'}} \otimes ν}{\to} & A^{'} \otimes_{R} B & \to 0 \end{matrix}

,

dass die Einschränkung von $α \otimes {i d}_{S}$ den Kern von ${i d}_{A} \otimes μ$ nach $\ker ({i d}_{A^{'}} \otimes μ)$ abbildet und so einen Gruppenhomomorphismus $α_{*} : Tor (A, B) \to Tor (A^{'}, B)$ definiert. Auf diese Weise erhält man einen Funktor ${Tor}^{R} (-, B) : {𝔯 𝔐 𝔬 𝔡}_{R} \to 𝔄 𝔟$ von der Kategorie der Rechts- $R$ -Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen.

Weiter kann man die Rollen von $A$ und $B$ vertauschen, das heißt man geht von der exakten Sequenz $0 \to S \to P \to A$ von Rechts- $R$ -Moduln aus und zeigt, dass man mit $\ker (S \otimes_{R} B \to P \otimes_{R} B)$ eine zu obiger Definition natürlich isomorphe Gruppe erhält, die daher ebenfalls mit $Tor (A, B)$ bzw. ${Tor}^{R} (A, B)$ bezeichnet werden kann. Insgesamt erhält man so einen Bi-Funktor

{Tor}^{R} (-, -) : {𝔯 𝔐 𝔬 𝔡}_{R} \times {𝔩 𝔐 𝔬 𝔡}_{R} \to 𝔄 𝔟

von dem Produkt der Kategorie der Rechts-Moduln über $R$ mit der Kategorie der Links-Moduln über $R$ in die Kategorie der abelschen Gruppen.^[1]

Der Tor-Funktor ist additiv, das heißt man hat natürliche Isomorphismen

{Tor}^{R} (A \oplus A^{'}, B) ≅ {Tor}^{R} (A, B) \oplus {Tor}^{R} (A^{'}, B)

{Tor}^{R} (A, B \oplus B^{'}) ≅ {Tor}^{R} (A, B) \oplus {Tor}^{R} (A, B^{'})

für Rechts- $R$ -Moduln $A, A^{'}$ und Links- $R$ -Moduln $B, B^{'}$ .

Abelsche Gruppen

Wählt man $ℤ$ als Grundring, so bewegt man sich in der Kategorie der abelschen Gruppen, denn diese sind genau die $ℤ$ -Moduln, und man muss wegen der Kommutativität des Grundrings nicht zwischen Links- und Rechts-Moduln unterscheiden. In dieser Kategorie ergeben sich gewisse Vereinfachungen und man findet einen Zusammenhang zwischen dem Tor-Funktor und der für ihn namensgebenden Torsion von Gruppen.

Alternative Beschreibung von Tor(A,B)

Im Falle abelscher Gruppen $A$ und $B$ kann $Tor (A, B)$ wie folgt durch Erzeuger und Relationen präsentiert werden.^[2]

Die Menge $ℰ$ der Erzeuger sei die Menge aller Symbole $⟨ a, m, b ⟩$ mit $a \in A, m \in ℤ, b \in B$ , $a m = 0$ und $m b = 0$ , wobei hier die $ℤ$ -Modul-Operation nur aus praktischen Gründen einmal links und einmal rechts geschrieben wurde, eine Unterscheidung ist, wie oben erwähnt, nicht nötig. Die Menge $ℛ$ der Relationen enthalte alle Ausdrücke der Form

⟨ a_{1} + a_{2}, m, b ⟩ = ⟨ a_{1}, m, b ⟩ + ⟨ a_{2}, m, b ⟩, ⟨ a_{1}, m, b ⟩, ⟨ a_{2}, m, b ⟩ \in ℰ

⟨ a, m, b_{1} + b_{2} ⟩ = ⟨ a, m, b_{1} ⟩ + ⟨ a, m, b_{2} ⟩, ⟨ a, m, b_{1} ⟩, ⟨ a, m, b_{2} ⟩ \in ℰ

⟨ a, m n, b ⟩ = ⟨ a m, n, b ⟩, ⟨ a m, n, b ⟩ \in ℰ

⟨ a, m n, b ⟩ = ⟨ a, m, n b ⟩, ⟨ a, m, n b ⟩ \in ℰ

Dann kann man zeigen, dass die durch $⟨ ℰ | ℛ ⟩$ präsentierte Gruppe zu $Tor (A, B)$ isomorph ist. Zur Konstruktion einer Abbildung $⟨ ℰ | ℛ ⟩ \to Tor (A, B)$ sei $0 \to S \overset{μ}{\to} P \overset{ν}{\to} B \to 0$ eine kurze exakte Sequenz mit projektivem $ℤ$ -Modul $P$ und $⟨ a, m, b ⟩$ ein Erzeuger. Wähle $p \in P$ mit $ν (p) = b$ . Dann ist $ν (m p) = m b = 0$ und wegen der Exaktheit gibt es genau ein $s \in S$ mit $μ (s) = m p$ . Man kann zeigen, dass $a \otimes s$ nicht von der Wahl $p$ abhängt. Da

({i d}_{A} \otimes μ) (a \otimes s) = a \otimes μ (s) = a \otimes m p = a m \otimes p = 0 \otimes p = 0

,

liegt $a \otimes s$ im Kern von ${i d}_{A} \otimes μ$ und damit definitionsgemäß in $Tor (A, B)$ . Die vorgestellte Konstruktion definiert daher eine Abbildung $⟨ ℰ | ℛ ⟩ \to Tor (A, B)$ , von der man zeigen kann, dass es sich um einen Gruppenisomorphismus handelt.

Charakterisierung torsionsfreier Gruppen

Für eine abelsche Gruppe $A$ sind folgende Aussagen äquivalent^[3]:

$A$ ist torsionsfrei, das heißt enthält außer 0 keine Elemente endlicher Ordnung.
$Tor (A, B) = 0$ für alle abelschen Gruppen $B$ .
Für alle injektiven Gruppenhomomorphismen $β : B \to C$ ist auch ${i d}_{A} \otimes β : A \otimes_{ℤ} B \to A \otimes_{ℤ} C$ injektiv.
Jede exakte Sequenz abelscher Gruppen geht durch Tensorieren mit $A$ wieder in eine exakte Sequenz über.

Insbesondere ist $Tor (A, B) = 0$ , falls eine der Gruppen gleich $ℤ$ oder $ℚ$ ist.

Endlich erzeugte abelsche Gruppen

$Tor (A, B)$ lässt sich für endlich erzeugte abelsche Gruppen vollständig berechnen. Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen sind solche Gruppen direkte Summen von zyklischen Gruppen, so dass $Tor (A, B)$ wegen der Additivität des Tor-Funktors nur noch für zyklische Gruppen zu bestimmen ist. Ist eine der Gruppen gleich $ℤ$ , so ist $Tor (A, B) = 0$ und es bleibt nur noch der Fall endlicher zyklischer Gruppen. Sei $ℤ_{n}$ die zyklische Gruppe der Ordnung $n$ . Dann folgt^[4]

Tor (ℤ_{n}, B) ≅ {b \in B; n b = 0}

und daraus, wenn man den größten gemeinsamen Teiler von $m$ und $n$ mit $(m, n)$ bezeichnet:

Tor (ℤ_{m}, ℤ_{n}) ≅ ℤ_{(m, n)}

,

was man aber auch direkt aus der Definition mit der Auflösung $0 \to ℤ \overset{a \mapsto m a}{\to} ℤ \to ℤ_{m}$ herleiten kann. Damit ist $Tor (A, B)$ für endlich erzeugte abelsche Gruppen bestimmt.

Tor als Ableitung des Tensor-Funktors

Eine allgemeinere Definition erhält man durch

{Tor}_{n}^{R} (A, B) := L_{n} (- \otimes_{R} B) (A) ≅ L_{n} (A \otimes_{R} -) (B)

als $n$ -te Linksableitung des Tensorfunktors. Ist der Grundring $R$ durch den Kontext gegeben, so lässt man ihn in der Bezeichnung fort und schreibt einfach ${Tor}_{n} (A, B)$ . Man erhält so eine Folge von Bi-Funktoren

{Tor}_{n}^{R} (-, -) : {𝔯 𝔐 𝔬 𝔡}_{R} \times {𝔩 𝔐 𝔬 𝔡}_{R} \to 𝔄 𝔟

.

Verwendet man projektive Auflösungen zur Berechnung von ${Tor}_{n}^{R} (A, B)$ , so sieht man, dass ${Tor}_{1}^{R} (A, B)$ mit dem oben definierten $Tor$ -Funktor zusammenfällt.

Man erhält aus der allgemeinen Theorie folgende lange exakte Sequenzen, die zeigen, wie der Tor-Funktor die fehlende Linksexaktheit des Tensorfunktors kompensiert.^[5]

Ist $0 \to A \to A^{'} \to A^{'^{'}} \to 0$ eine kurze exakte Sequenz von Rechts- $R$ -Moduln und $B$ ein Links- $R$ -Modul, so hat man eine lange exakte Sequenz

\dots \to {Tor}_{2} (A^{'^{'}}, B) \to {Tor}_{1} (A, B) \to {Tor}_{1} (A^{'}, B) \to {Tor}_{1} (A^{'^{'}}, B)

\to A \otimes_{R} B \to A^{'} \otimes_{R} B \to A^{'^{'}} \otimes_{R} B \to 0

.

Ist $0 \to B \to B^{'} \to B^{'^{'}} \to 0$ eine kurze exakte Sequenz von Links- $R$ -Moduln und $A$ ein Rechts- $R$ -Modul, so hat man eine lange exakte Sequenz

\dots \to {Tor}_{2} (A, B^{'^{'}}) \to {Tor}_{1} (A, B) \to {Tor}_{1} (A, B^{'}) \to {Tor}_{1} (A, B^{'^{'}})

\to A \otimes_{R} B \to A \otimes_{R} B^{'} \to A \otimes_{R} B^{'^{'}} \to 0

.

Einzelnachweise

↑ P. J. Hilton und U. Stammbach: A course in homological algebra. 2. Auflage, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1997, ISBN 0-387-94823-6, Kapitel III.8: The Functor Tor
↑ Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 114 (1967), Kap. V, § 6, "Torsion Products of Groups"
↑ Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 114 (1967), Kap. V, Theorem 6.2
↑ Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 114 (1967), Kap. V, § 6, "Torsion Products of Groups"
↑ P. J. Hilton und U. Stammbach: A course in homological algebra. 2. Auflage, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1997, ISBN 0-387-94823-6, Kapitel IV.11: The Functor ${Tor}_{n}^{Λ}$

[1] P. J. Hilton und U. Stammbach: A course in homological algebra. 2. Auflage, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1997, ISBN 0-387-94823-6, Kapitel III.8: The Functor Tor

[2] Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 114 (1967), Kap. V, § 6, "Torsion Products of Groups"

[3] Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 114 (1967), Kap. V, Theorem 6.2

[4] Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 114 (1967), Kap. V, § 6, "Torsion Products of Groups"

[5] P. J. Hilton und U. Stammbach: A course in homological algebra. 2. Auflage, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1997, ISBN 0-387-94823-6, Kapitel IV.11: The Functor ${Tor}_{n}^{Λ}$

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