Distribución multinomial

Multinomial
Parámetros	n>0 número de pruebas (entero); p1,…,pk probabilidad de un suceso concreto (Σpi=1)
Dominio	X=(x1,…,xk)′∈ℤk; xi∈{0,…,n} ;Σxi=n
Función de densidad (pdf)	n!x1!⋯xk!p1x1⋯pkxk
Media	E{Xi}=npi
Varianza	Var(Xi)=npi(1−pi); Cov(Xi,Xj)=−npipj (i≠j)
Función generadora de momentos (mgf)	(∑i=1kpieti)n
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En teoría de probabilidad, la distribución multinomial o distribución multinómica es una generalización de la distribución binomial.

La distribución binomial es la probabilidad de un número de éxitos en N sucesos de Bernoulli independientes, con la misma probabilidad de éxito en cada suceso. En una distribución multinomial, el análogo a la distribución de Bernoulli es la distribución categórica, donde cada suceso concluye en únicamente un resultado de un número finito K de los posibles, con probabilidades $p_{1}, \dots, p_{k}$ (tal que $p_{i} \geq 0$ para i entre 1 y K y $\sum_{i = 1}^{k} p_{i} = 1$ ); y con n sucesos independientes.

Entonces sea la variable aleatoria $X_{i}$ , que indica el número de veces que se ha dado el resultado i sobre los n sucesos. El vector $X = (X_{1}, ..., X_{k})$ sigue una distribución multinomial con parámetros n y p, donde $p = (p_{1}, ..., p_{k})$ .

Nótese que en algunos campos las distribuciones categórica y multinomial se encuentran unidas, y es común hablar de una distribución multinomial cuando el término más preciso sería una distribución categórica.