Medida espectral

En matemáticas, en especial en análisis funcional una medida espectral es una aplicación cuyo dominio es una σ-álgebra y cuyos valores son proyecciones autoadjuntas en un espacio de Hilbert. Medidas espectrales se utilizan en la teoría espectral de operadores autoadjuntos.

Definición formal

Sean

$(X, 𝒜)$ un espacio medible, es decir $𝒜$ es una σ-álgebra de subconjuntos de $X$ .
$H$ un espacio de Hilbert.
$π$ una aplicación de $𝒜$ al conjunto de proyecciones ortogonales de $H$ .

$π$ es una medida espectral si y solamente si

$π (X) = {id}_{H}$
Si ${E_{i} : i \in ℕ}$ es una sucesión de elementos de $𝒜$ disjuntos entre sí, entonces las proyecciones ${π (E_{i}) : i \in ℕ}$

son ortogonales entre sí y

π (⋃_{i \in ℕ} E_{i}) = \sum_{i \in ℕ} π (E_{i})

donde la convergencia en el sumatorio es en el sentido de la convergencia fuerte de operadores: O sea que para todo vector $x \in H$

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} π (E_{k}) x = π (⋃_{i \in ℕ} E_{i}) x

Referencias

G. W. Mackey, The Theory of Unitary Group Representations, The University of Chicago Press, 1976
V. S. Varadarajan, Geometry of Quantum Theory V2, Springer Verlag, 1970.

Datos: Q339722