Alamhulk

Matemaatikas nimetatakse hulka A hulga B alamhulgaks ehk osahulgaks ehk alamsüsteemiks.^[1] kui kõik hulga A elemendid on ühtlasi hulga B elemendid. Seda asjaolu tähistatakse A ⊂ B või A ⊆ B.^[2] Alamhulgaks olemist nimetatakse sisalduvuseks ja asjaolu A ⊂ B kohta öeldakse ka, et hulk A sisaldub hulgas B. Hulkadevahelist binaarset seost ⊂ nimetatakse seetõttu sisalduvusseoseks.

Võib ka öelda, et B on A ülemhulk, mis on samaväärne sellega, et A on B alamhulk. Hulk B on hulga A ülemhulk parajasti siis, kui hulk A on hulga B alamhulk. Viimase asjaolu tõttu kanduvad ülemhulgale üle kõik alamhulkade omadused, kuid seda ümberpööratud kujul.

Omadused

Definitsioonist järelduvad järgmised omadused:

Refleksiivsus: iga hulk on iseenda alamhulk,
$A \subset A$
Antisümmeetrilisus: kui A on hulga B alamhulk ja B on hulga A alamhulk, siis need hulgad on võrdsed,
$A \subset B \land B \subset A \Rightarrow B = A$
Transitiivsus: kui A on hulga B alamhulk ja B on hulga C alamhulk, siis on A ka hulga C alahulk.
$A \subset B \land B \subset C \Rightarrow A \subset C$
Tühi hulk ø on iga hulga alamhulk.
$\emptyset \subset A$

Omadused (1)–(3) ütlevad, et ⊂ on osaline järjestus kõikide hulkade klassil, ning omadus (4) ütleb, et ø on selle järjestuse vähim element.

Tähistusest

Kui hulk A on hulga B alamhulk, mis ei ühti hulgaga B, siis nimetatakse seda hulga B pärisalamhulgaks. Viimase asjaolu rõhutamiseks kasutatakse mõnikord tähistust

A ⊊ B

.

Kui soovitakse rõhutada omaduse (1) kehtivust, kasutatakse tähistust

A \subseteq B

,

kusjuures mõned autorid võivad sel juhul kirjapildiga ⊂ tähistada just pärisalamhulgaks olemist. Viimane tähistusviis on siiski pigem erand kui reegel.

Kasutusel on ka "ümber pööratud" tähistus

B \supset A

.

Sel juhul öeldakse, et A on B ülemhulk.

Näited

Hulk {1, 2} on hulga {1, 2, 3} pärisalamhulk.
Hulk {1, 3, 4} on hulga {1, 2, 3, 4} pärisalamhulk.
Hulk {1, 2, 3, 4} on hulga {1, 2, 3, 4} alamhulk, kuid mitte pärisalamhulk.
Hulk {1, 2, 4, 5} ei ole hulga {1, 2, 3, 4} alamhulk.
Naturaalarvude hulk on täisarvude hulga pärisalamhulk.
Naturaalarvude hulk on ratsionaalarvude hulga pärisalamhulk.
Ratsionaalarvude hulk on reaalarvude hulga pärisalamhulk.
Täisarvude hulk ei ole naturaalarvude hulga alamhulk.
Hulk {x : x on 2000-st suurem algarv} on hulga {x : x on 1000-st suurem paaritu arv} pärisalamhulk.
Ruutude hulk on rombide hulga pärisalamhulk ja ristkülikute hulga pärisalamhulk.
Rombide hulk ei ole ristkülikute hulga alamhulk.
Mis tahes hulk on iseenda alamhulk, kuid mitte iseenda pärisalamhulk.
Tühi hulk $\emptyset$ on mis tahes hulga alamhulk. (See on tühi tõde.) Tühi hulk on alati pärisalamhulk, välja arvatud iseenda puhul.

Karakteristlik funktsioon

Hulga B alamhulga $A$ saab defineerida tema karakteristliku funktsiooni $χ_{A} : B \to {0, 1}$ kaudu:

\forall b \in B, χ_{A} (b) = 1 \Leftrightarrow b \in A

.

χ_A(b) võrdub 1, kui b on hulga A element, vastasel korral võrdub 0.

Vaata ka

Potentshulk ehk kõigi alamhulkade hulk

Viited

↑ Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)
↑ P. Oja, Hulgateooria (2006), lk 6

[1] Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)

[2] P. Oja, Hulgateooria (2006), lk 6

[1]

[2]