Primitives de fonctions logarithmes

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Cet article donne les primitives de fonctions logarithmes.

\forall n \in ℤ ∖ {- 1}, \int (\ln x)^{n} \frac{d x}{x} = \frac{(\ln x)^{n + 1}}{n + 1} + C

\forall m \in ℤ ∖ {- 1}, \forall n \in ℕ, \int (\ln x)^{n} x^{m} d x = x^{m + 1} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{n - k} n!}{(m + 1)^{n - k + 1} k!} (\ln x)^{k} + C

\forall m \in ℤ,

\forall n \in {2, 3, \dots}, \int \frac{x^{m}}{(\ln x)^{n}} d x = - x^{m + 1} \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{(k - 1)! (m + 1)^{n - 1 - k}}{(n - 1)! (\ln x)^{k}} + \frac{(m + 1)^{n - 1}}{(n - 1)!} \int \frac{x^{m}}{\ln x} d x + C

et \int \frac{x^{m}}{\ln x} d x = \ln | \ln x | + \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{(m + 1)^{n} (\ln x)^{n}}{n! \cdot n} + C

\forall a \neq 0, \int e^{a x} \ln x d x = \frac{1}{a} e^{a x} \ln | x | - \frac{1}{a} \int \frac{e^{a x}}{x} d x

Références