Espazo regular


Axiomas de separación en espazos topolóxicos
T0
T1
T2
T2½
completamente T2
T3
T3½
T4
T5
T6

En matemáticas, e máis concretamente en topoloxía xeral, dise que un espazo topolóxico X é un espazo regular cando é posible separar todo conxunto cerrado de calquera dos seus puntos exteriores, no sentido de que pertencen a veciñanzas separadas.

A condición de regular, que se denota por T3, é un dos denominados axiomas de separación. En ocasións resérvase a denominación T3 para os espazos de Hausdorff regulares, é dicir, que ademais son espazos de Hausdorff.^[1]

Definición

Un espazo topolóxico X é un espazo regular cando para cada conxunto cerrado F de X e cada punto x que non pertence a F, existen dúas contornas abertas, U de x e V de F, que son disxuntas: . $U \cap V = ∅︀$ ^[2]

Proposición

Consideremos un espazo topolóxico (X, T) . Entón os seguintes enunciados son equivalentes:

X é un espazo regular.
Se U é un aberto de X e t ∈ U, entón existe un aberto W de X tal que t ∈ W e a adherencia de W está contida en U
Calquera punto de X ten un sistema fundamental de veciñanzas cerradas.

Aclaración e definición

En xeral a un espazo topolóxico regular e $T_{1}$ denomínaselle $T_{3}$

Fica claro que se X é un espazo T1 e regular entón é de Hausdorff (xa que nos espazos T1 os conxuntos unipuntuais son conxuntos cerrados). Con todo, hai exemplos de espazos Hausdorff non regulares. Para o caso de espazos compactos, "ser Hausdorff" e "ser regular" son propiedades equivalentes.

Unha caracterización dos espazos regulares (non se necesita que os puntos sexan cerrados) está dada pola seguinte proposición: un espazo X é regular se e só se para todo $z \in X$ e U contorna de z existe unha contorna V de z tal que . $\bar{V} \subseteq U$

Exemplos

O espazo topolóxico ℝ coa topología usual é un espazo regular.
Sexa S un conxunto provisto de topoloxía trivial. Entón S é un espazo regular
Sexa o conxunto ℝ e a topología sobre el, T = {∅, ℚ, ℝ\ℚ, ℝ}, entón (ℝ, T) é un espazo regular, pero non é un espazo de Hausdorff
O espazo de Sierpinski non é T3.

Notas

↑ "T3 space". Consultado o 28 de agosto de 2020.
↑ Neira U., Clara M. (2003). Notas de Topología.

Véxase tamén

Bibliografía

Munkres, James (2000). "The separation axioms". Topology (en inglés) (segunda ed.). Prentice Hall. pp. 195-197. ISBN 0-13-181629-2. Consultado o 20 de febrero de 2015.
Llopis, José L. (2017). "Espacio regular de Hausdorff" (en castellano). ISSN 2659-8442.

Outros artigos

[1] "T3 space". Consultado o 28 de agosto de 2020.

[2] Neira U., Clara M. (2003). Notas de Topología.

[1]

[2]