Produto triplo

Características
	Fórmula (𝒂,𝒃,𝒄)=𝒂⋅(𝒃×𝒄) 𝒂×𝒃 (produto vectorial); (𝒂,𝒃,𝒄) (produto triplo); 𝒂⋅𝒃 (produto escalar)
	Fórmula (𝒂,𝒃,𝒄)=𝒂⋅(𝒃×𝒄) 𝒂×𝒃 (produto vectorial); (𝒂,𝒃,𝒄) (produto triplo); 𝒂⋅𝒃 (produto escalar)

	Instancia de operacion ternaria; multiplicación de vectores
	Estudado por Cálculo vectorial

Produto triplo
	Instancia de operacion ternaria; multiplicación de vectores
	Estudado por Cálculo vectorial
Características
	Fórmula (𝒂,𝒃,𝒄)=𝒂⋅(𝒃×𝒄) 𝒂×𝒃 (produto vectorial); (𝒂,𝒃,𝒄) (produto triplo); 𝒂⋅𝒃 (produto escalar)
	Fórmula (𝒂,𝒃,𝒄)=𝒂⋅(𝒃×𝒄) 𝒂×𝒃 (produto vectorial); (𝒂,𝒃,𝒄) (produto triplo); 𝒂⋅𝒃 (produto escalar)
Freebase
Fontes e ligazóns
Freebase
Freebase	/m/03w577
MathWorld	ScalarTripleProduct
OpenAlex	C26979961
	Descrito pola fonte Enciclopedia Soviética Armenia
	Wikidata

O produto triplo escalar (tamén chamado produto mixto) defínese como o produto escalar dun dos vectores co produto vectorial dos outros dous.

Interpretación xeométrica

Xeométricamente, o produto triplo escalar

𝐚 \cdot (𝐛 \times 𝐜)

é o volume (con signo) do paralelepípedo definido polos tres vectores indicados.

Propiedades

O produto triplo escalar non muda baixo un desprazamento circular dos seus tres operandos (a, b, c):
$𝐚 \cdot (𝐛 \times 𝐜) = 𝐛 \cdot (𝐜 \times 𝐚) = 𝐜 \cdot (𝐚 \times 𝐛)$
Trocar as posicións dos operadores sen reordenar os operandos deixa o produto triplo sen cambios:
$𝐚 \cdot (𝐛 \times 𝐜) = (𝐚 \times 𝐛) \cdot 𝐜$
O troco de dous dos tres operandos nega o produto triplo:
$\begin{matrix} 𝐚 \cdot (𝐛 \times 𝐜) & = - 𝐚 \cdot (𝐜 \times 𝐛) \\ = - 𝐛 \cdot (𝐚 \times 𝐜) \\ = - 𝐜 \cdot (𝐛 \times 𝐚) \end{matrix}$
O produto triplo escalar tamén se pode entender como o determinante da matriz 3 x 3 que ten os tres vectores como filas ou columnas (unha matriz ten o mesmo determinante que a súa transposta):
$𝐚 \cdot (𝐛 \times 𝐜) = det [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{matrix}] = det [\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}] = det [\begin{matrix} 𝐚 & 𝐛 & 𝐜 \end{matrix}] .$
Se o produto triplo escalar é igual a cero, entón os tres vectores a, b e c son coplanares, xa que o paralelepípedo definido por eles sería plano e non terá volume.
Se dous vectores calquera do produto triplo escalar son iguais, entón o seu valor é cero:
$𝐚 \cdot (𝐚 \times 𝐛) = 𝐚 \cdot (𝐛 \times 𝐚) = 𝐛 \cdot (𝐚 \times 𝐚) = 0$
Tamén
$(𝐚 \cdot (𝐛 \times 𝐜)) 𝐚 = (𝐚 \times 𝐛) \times (𝐚 \times 𝐜)$

A razón entre o produto triplo e o produto das tres normas vectoriais coñécese como seno polar: $\frac{𝐚 \cdot (𝐛 \times 𝐜)}{‖ 𝐚 ‖ ‖ 𝐛 ‖ ‖ 𝐜 ‖} = psin (𝐚, 𝐛, 𝐜)$ que oscila entre −1 e 1.

Como produto exterior

Na álxebra exterior e álxebra xeométrica o produto exterior de dous vectores é un bivector, mentres que o produto exterior de tres vectores é un trivector. Un bivector é un elemento plano orientado e un trivector é un elemento de volume orientado, do mesmo xeito que un vector é un elemento de recta orientada.

Dados os vectores a, b e c, o produto

𝐚 \land 𝐛 \land 𝐜

é un trivector cunha magnitude igual ao produto triplo escalar, é dicir

| 𝐚 \land 𝐛 \land 𝐜 | = | 𝐚 \cdot (𝐛 \times 𝐜) |

,

e é o dual de Hodge do produto triplo escalar. Como o produto exterior é asociativo non son necesarios corchetes xa que non importa cal de a ∧ b ou b ∧ c se calcula primeiro, aínda que a orde dos vectores no produto si importa. Xeométricamente o trivector a ∧ b ∧ c corresponde ao paralelepípedo abranguido por a, b e c, cos bivectores a ∧ b, b ∧ c e a ∧ c coincidentes coas caras do paralelogramo do paralelepípedo.

Produto triplo vectorial

O produto triplo vectorial defínese como o produto cruzado dun vector co produto cruzado dos outros dous. Manténse a seguinte relación:

𝐚 \times (𝐛 \times 𝐜) = (𝐚 \cdot 𝐜) 𝐛 - (𝐚 \cdot 𝐛) 𝐜

.

Isto coñécese como expansión do produto triplo, ou fórmula de Lagrange,^[1]^[2]^[3] aínda que este último nome tamén se usa para outras fórmulas.

Dado que o produto vectorial é anticomutativo, esta fórmula tamén se pode escribir (ata a permutación das letras) como:

(𝐚 \times 𝐛) \times 𝐜 = - 𝐜 \times (𝐚 \times 𝐛) = - (𝐜 \cdot 𝐛) 𝐚 + (𝐜 \cdot 𝐚) 𝐛

Da fórmula de Lagrange despréndese que o produto do triplo vectorial satisfai:

𝐚 \times (𝐛 \times 𝐜) + 𝐛 \times (𝐜 \times 𝐚) + 𝐜 \times (𝐚 \times 𝐛) = 𝟎

que é a identidade de Jacobi para o produto vectorial. Outra fórmula útil é a seguinte:

(𝐚 \times 𝐛) \times 𝐜 = 𝐚 \times (𝐛 \times 𝐜) - 𝐛 \times (𝐚 \times 𝐜)

Estas fórmulas son moi útiles para simplificar os cálculos vectoriais en física. Unha identidade relacionada con gradientes e útil no cálculo vectorial é a fórmula de Lagrange da identidade do produto vectorial :^[4]

𝜵 \times (𝜵 \times 𝐀) = 𝜵 (𝜵 \cdot 𝐀) - (𝜵 \cdot 𝜵) 𝐀

Isto tamén pode considerarse como un caso especial do máis xeral operador de Laplace-de Rham $Δ = d δ + δ d$ .

Notas

↑ Lagrange, J-L (1773). "Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires". Oeuvres 3.
↑ Kiyosi Itô (1987). Encyclopedic Dictionary of Mathematics. MIT Press. p. 1679. ISBN 0-262-59020-4.
↑ Kiyosi Itô (1993). "§C: Vector product". Encyclopedic dictionary of mathematics (2nd ed.). MIT Press. p. 1679. ISBN 0-262-59020-4.
↑ Pengzhi Lin (2008). Numerical Modelling of Water Waves: An Introduction to Engineers and Scientists. Routledge. p. 13. ISBN 978-0-415-41578-1.

Véxase tamén

Outros artigos

[1] Lagrange, J-L (1773). "Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires". Oeuvres 3.

[2] Kiyosi Itô (1987). Encyclopedic Dictionary of Mathematics. MIT Press. p. 1679. ISBN 0-262-59020-4.

[Itô-3] Kiyosi Itô (1993). "§C: Vector product". Encyclopedic dictionary of mathematics (2nd ed.). MIT Press. p. 1679. ISBN 0-262-59020-4.

[Lin-4] Pengzhi Lin (2008). Numerical Modelling of Water Waves: An Introduction to Engineers and Scientists. Routledge. p. 13. ISBN 978-0-415-41578-1.

[1]

[2]

[3]

[4]