Funzione elementare

In matematica, una funzione è detta elementare se è una funzione algebrica, esponenziale, logaritmica o se si ottiene da queste classi di funzioni mediante un numero finito di applicazioni delle operazioni aritmetiche elementari e della composizione di funzioni^[1]. Sono incluse in questo elenco anche le funzioni trigonometriche (legate all'esponenziale complesso tramite la formula di Eulero) e la funzione valore assoluto (in quanto $| x | := \sqrt{x^{2}}$ ).

È una funzione elementare dunque qualsiasi combinazione, per quanto complicata, di questi operatori sopra menzionati, come ad esempio

\frac{e^{\tan (x)}}{1 - x^{2}} \sin (\sqrt{1 + \ln^{2} x})

.

Tra le funzioni non elementari troviamo, tra le altre, la funzione segno, la funzione degli errori e la funzione che enumera gli elementi della successione di Fibonacci.

Algebra differenziale

In algebra differenziale si trova una definizione astratta di funzione elementare. Ricordiamo che un campo differenziale è un campo equipaggiato di un'operazione unaria di "derivazione", cioè una mappa $\partial : 𝒦 \to 𝒦$ tale che:

$\partial (u + v) = \partial u + \partial v$ (l'operazione è lineare)
$\partial (u \cdot v) = u \cdot \partial v + \partial u \cdot v$ (vale la regola di Leibniz)

Si definisce dunque come funzione elementare su $𝒦$ un elemento u appartenente all'estensione algebrica $𝒦 [u]$ tale che

u è algebrico su $𝒦$ , o
u è un esponenziale, cioè $\partial u = u \cdot \partial a$ , per qualche a in $𝒦$ , o
u è un logaritmo, cioè $\partial u = \frac{\partial a}{a}$ , per qualche a in $𝒦$ .

Note

↑ (EN) Elementary functions - Encyclopedia of Mathematics, su encyclopediaofmath.org. URL consultato il 9 aprile 2018.

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Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Elementary Function, su MathWorld, Wolfram Research.

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[1] (EN) Elementary functions - Encyclopedia of Mathematics, su encyclopediaofmath.org. URL consultato il 9 aprile 2018.

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