Logaritmo complesso

Il logaritmo complesso è un'estensione della funzione logaritmo al campo dei numeri complessi.

Per i numeri reali si ha la seguente relazione:

y = \ln (x) \Leftrightarrow x = e^{y} con x \in ℝ^{+}, y \in ℝ .

Tale relazione può essere utilizzata per estendere il logaritmo al campo complesso:

w = \ln (z) \Leftrightarrow z = e^{w} con w, z \in ℂ,

con l'unica condizione $z \neq 0$ . Quest'ultima relazione permette di ottenere un'espressione esplicita per $\ln (z)$ . Scrivendo $z$ in forma esponenziale

z = ρ e^{i θ},

segue che

ρ e^{i θ} = z = e^{w} = e^{u + i v} = e^{u} \cdot e^{i v},

dove $u$ e $v$ rappresentano, rispettivamente, parte reale e immaginaria dell'incognita $\ln (z)$ . Dalla precedente catena di uguaglianze seguono le seguenti relazioni che determinano $u$ e $v$ :

| z | = ρ = e^{u} ⟹ u = \ln | z |

e^{i θ} = e^{i v} ⟹ v = \arg (z)

Si può quindi scrivere

\ln (z) = \ln | z | + i \arg (z) .

Si nota che il logaritmo complesso assume infiniti valori dato che $\arg (z)$ contiene tutti i numeri del tipo $θ + 2 k π$ , con $k \in ℤ .$ Per tale motivo esso non è propriamente una funzione ma una cosiddetta funzione polidroma.

Curiosità sul logaritmo complesso

Ricordando l'Identità di Eulero: $e^{i π} = - 1$ , è facile ottenere una curiosa, quanto affascinante, definizione di $π$ : applicando il logaritmo si ha infatti:

\ln (e^{i π}) = \ln (- 1)

i π = \ln (- 1)

π = \frac{\ln (- 1)}{i}

π = - i \ln (- 1) .

Il numero trascendente $π$ è così descritto in termini di quantità complesse, e logaritmi apparentemente impossibili. Per spiegare l'impossibilità solo apparente di ciò, si può all'inverso applicare la definizione di logaritmo complesso principale a $- 1$ :

\ln (- 1) = \ln | - 1 | + i arg (- 1) = \ln 1 + i π = 0 + i π = i π

e si ricava nuovamente

\frac{\ln (- 1)}{i} = π .

Logaritmo principale

Per poter considerare il logaritmo complesso come una funzione è necessario definire il suo valore principale:

Ln (z) = \ln | z | + i \arg (z) con - π < \arg (z) \leq π .

Il Logaritmo principale è analitico su tutto $ℂ$ escluso l'origine (dove il logaritmo non è definito) e il semiasse reale negativo (dove l'argomento ha un salto di discontinuità pari a $2 π$ ).

Voci correlate

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