Orbita (matematica)

In matematica e in particolare in geometria differenziale, l'orbita di un sistema dinamico è una traiettoria percorsa dal sistema nello spazio delle fasi, ovvero una funzione che soddisfa l'equazione che definisce il sistema dinamico stesso.

Se il sistema dinamico è continuo, cioè è determinato da un'equazione differenziale ordinaria autonoma:

\frac{d X}{d t} = F (X (t))

con $F : M \subset ℝ^{n} \to ℝ^{n}$ un campo vettoriale differenziabile definito nello spazio delle fasi $M$ , un'orbita è una soluzione $X (t)$ dell'equazione. Dal momento che il flusso $Φ_{t} (x) : M \to M$ del sistema nel punto $x_{0}$ è la soluzione quando $x_{0}$ è preso come il punto di inizio dell'evoluzione del sistema, ovvero $Φ_{t} (x_{0}) \equiv X (t)$ , si ha che l'orbita passante per $x_{0}$ è talvolta scritta come l'insieme:

{Φ_{t} (x_{0}) : - \infty < t < \infty}

Definizione

Dato un sistema dinamico $(T, M, Φ)$ dove $T$ è un gruppo, $M$ un insieme e $Φ : U \to M$ , con $U \subset T \times M$ , si definisce:

I (x) := {t \in T : (t, x) \in U}

Allora l'insieme:

γ_{x} := {Φ (t, x) : t \in I (x)} \subset M

è l'orbita passante per $x$ . Se l'orbita consiste in un solo punto allora si dice orbita costante; ad esempio l'orbita in corrispondenza di un punto di equilibrio.

Un'orbita non costante è detta orbita periodica o orbita chiusa se esiste $t \in T$ tale per cui $Φ (t, x) = x$ per ogni punto $x$ dell'orbita.

Sistemi dinamici continui (flussi)

Dato un sistema dinamico continuo su $M$ con evoluzione $Φ (t, x)$ , sia $I (x) \subset ℝ$ un intervallo aperto:

I (x) = (t_{x}^{-}, t_{x}^{+}) \forall x \in M

La curva:

γ_{x}^{+} \equiv {Φ (t, x) : t \in (0, t_{x}^{+})}

è la semi-orbita positiva passante per $x$ , mentre:

γ_{x}^{-} \equiv {Φ (t, x) : t \in (t_{x}^{-}, 0)}

è la semi-orbita negativa passante per $x$ .

Sistemi dinamici discreti (mappe)

Si consideri un sistema discreto avente funzione di evoluzione (ricorsiva) $Φ (t, x) : X \to X$ , con $t \in ℕ$ il numero di iterazione. Detto $x \in X$ il punto iniziale, l'orbita passante per $x$ è:

γ_{x} \equiv γ_{x}^{-} \cup γ_{x}^{+}

dove:

γ_{x}^{+} \equiv {Φ (t, x) : t \geq 0}

e:

γ_{x}^{-} \equiv {Φ (- t, x) : t \geq 0}

Sistemi dinamici in due dimensioni

Dato un sistema di equazioni differenziali in $ℝ^{2}$ del seguente tipo:

{\begin{matrix} x^{'} = f (x, y) \\ y^{'} = g (x, y) \end{matrix}

La curva descritta nel piano al variare di $t$ da ogni soluzione $x = x (t)$ e $y = y (t)$ del sistema è la traiettoria del sistema. Se il sistema soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza e unicità di Cauchy, allora per ogni punto del piano passa un'orbita e una sola del sistema.

Le equazioni del sistema si possono interpretare da un punto di vista cinematico: il sistema descrive il moto di una particella $(x, y)$ la cui velocità $(x^{'}, y^{'})$ è data in ogni punto da $(f (x, y), g (x, y))$ . Le orbite del sistema sono le traiettorie chiuse descritte dalla particella e i punti critici sono i punti di equilibrio.

Sistemi dinamici lineari

L'andamento qualitativo delle soluzioni del sistema:

{\begin{matrix} x^{'} = a x + b y \\ y^{'} = c x + d y \end{matrix}

si ottiene derivando la prima equazione e inserendo al posto di $y^{'}$ la seconda:

x^{″} = a x^{'} + b (c x + d y) = a x^{'} + b c x + b d y

Dalla prima equazione si ricava $b y = x^{'} - a x$ e sostituendo si ottiene l'equazione lineare:

x^{″} = (a + d) x^{'} + (b c - a d) x

riordinando i termini:

x^{″} - (a + d) x^{'} + (a d - b c) x = 0

Si è così dimostrato che se $(x (t), y (t))$ è una soluzione del sistema lineare allora le funzioni $x (t)$ e $y (t)$ risolvono l'uguaglianza precedente, la cui equazione caratteristica è:

p (λ) = λ^{2} - (a + d) λ + (a d - b c) = 0

e coincide con il polinomio caratteristico della matrice dei coefficienti del sistema assegnato:

A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]

ossia:

det (λ I - A)

Dunque le radici:

λ_{1, 2} = \frac{(a + d) \pm \sqrt{(a - d)^{2} + 4 b c}}{2}

sono gli autovalori della matrice $A$ .

Il comportamento delle soluzioni del sistema dipende dalla natura degli autovalori, e si distinguono i vari casi:

Nodo stabile: $λ_{1, 2} < 0$
Nodo instabile: $λ_{1, 2} > 0$
Sella (instabile): $λ_{1} > 0$ e $λ_{1} < 0$ oppure $λ_{1} < 0$ e $λ_{1} > 0$
Centro (stabile): $λ_{1, 2} = \pm β i$
Fuoco stabile: $λ_{1, 2} = α \pm β i$ con $α < 0$
Fuoco instabile: $λ_{1, 2} = α \pm β i$ con $α > 0$

Bibliografia

(EN) Anatole Katok and Boris Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Cambridge, 1996, ISBN 0-521-57557-5.

Voci correlate

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