Teorema di Kummer

In matematica, il teorema di Kummer per coefficienti binomiali fornisce la valutazione p-adica di un coefficiente binomiale, ovvero l'esponente della maggiore potenza di un numero primo $p$ che divide questo coefficiente binomiale. Il teorema prende nome da Ernst Kummer, che lo dimostrò nel 1852.

Il teorema

Il teorema di Kummer afferma che per dati numeri interi $n \geq m \geq 0$ ed un numero primo $p$ , la valutazione p-adica $ν_{p} ((\binom{n}{m}))$ è pari al numero di riporti quando si addiziona $m$ ad $n - m$ in base-p.

Può essere dimostrato scrivendo $(\binom{n}{m})$ come $\frac{n!}{m! (n - m)!}$ ed usando quindi l'identità di Legendre.

Generalizzazione a coefficienti multinomiali

Il teorema di Kummer può essere generalizzato a coefficienti multinomiali $(\binom{n}{m_{1}, \dots, m_{k}}) := \frac{n!}{m_{1}! \dots m_{k}!}$ come segue: scrivendo l'espansione in base-p di un numero intero $n$ come $n = n_{0} + n_{1} p + n_{2} p^{2} + \dots + n_{r} p^{r}$ e indicando con $S_{p} (n) = n_{0} + n_{1} + \dots + n_{r}$ la somma delle cifre dell'espansione in base-p, allora $ν_{p} ((\binom{n}{m_{1}, \dots, m_{k}})) = \frac{1}{p - 1} (\sum_{i = 1}^{k} S_{p} (m_{i}) - S_{p} (n)) .$

Bibliografia

Kummer, Ernst (1852). "Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 44: 93–146. doi:10.1515/crll.1852.44.93.
Kummer's theorem at PlanetMath.org.

Voci correlate

Teorema di Lucas

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