Triangolo equilatero

Nella geometria euclidea, un triangolo equilatero è un triangolo avente i suoi tre lati congruenti tra loro. Si dimostra che i suoi angoli sono tutti congruenti e pari a 60° = $\frac{π}{3}$ rad^[1]. Poiché è sia equilatero sia equiangolo è il poligono regolare con tre lati.

I triangoli equilateri sono particolari triangoli isosceli. Tutti i triangoli equilateri sono simili tra di loro: per caratterizzare metricamente un triangolo equilatero, ovvero per caratterizzare la classe dei triangoli equilateri nel piano ottenibili gli uni dagli altri mediante traslazioni e rotazioni, serve e basta un parametro estensivo; tipicamente si usa la lunghezza dei suoi lati.

Nei triangoli equilateri, le bisettrici, le mediane, le altezze e gli assi si sovrappongono cosicché lo stesso punto rappresenta l'ortocentro, il baricentro, l'incentro e il circocentro.

Il gruppo delle simmetrie del triangolo equilatero è costituito dall'identità, dalle rotazioni intorno al suo centro di 120° e di 240° e dalle riflessioni rispetto alle bisettrici degli angoli. Tale gruppo è isomorfo al gruppo simmetrico di 3 oggetti S₃.

Costruzione

Come mostra Euclide in Elementi I, 1 (è la prima proposizione di tutta l'opera), il triangolo equilatero dato il lato AB si può costruire con riga e compasso in questo modo:

Si punta il compasso in A con apertura AB e si traccia una circonferenza;
Si punta il compasso in B con apertura BA e si traccia una circonferenza;
Il punto d'incontro delle circonferenze C è il terzo punto cercato;
Unendo A, B e C si ottiene un triangolo equilatero.

La dimostrazione è semplice: essendo, per definizione, tutti i punti della circonferenza equidistanti dal centro, il segmento AB è congruente ad AC, e AB è congruente a BC. Ma allora per la proprietà transitiva della congruenza, AB = AC = BC e il triangolo è equilatero.

Formule

Indicando con $l$ il lato del triangolo, con $P$ il perimetro, con $A$ l'area, con $b$ la base e con $h$ l'altezza si ha:

Perimetro

P = l \cdot 3

l = \frac{P}{3}

Area

A = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{l^{2}}{4} \cdot \sqrt{3}

h = \frac{A \cdot 2}{b}

b = \frac{A \cdot 2}{h}

Altezza

h = l \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}

Applicazioni del teorema di Pitagora

h = \sqrt{l^{2} - {(\frac{l}{2})}^{2}} = \sqrt{l^{2} - \frac{l^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{4 l^{2} - l^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{3 l^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{l^{2}} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{l \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{l}{2} \sqrt{3}

l = \frac{2 h}{\sqrt{3}}

Circonferenza inscritta e circoscritta

Il centro geometrico del triangolo è il centro delle circonferenze inscritta e circoscritta al triangolo equilatero

Il raggio della circonferenza circoscritta è $R = \frac{\sqrt{3}}{3} l$ da cui $l = R \sqrt{3}$

Il raggio della circonferenza inscritta è $r = \frac{\sqrt{3}}{6} l$ da cui $R = 2 \cdot r$

L'area, noto R, è $A = \frac{3 \cdot R^{2}}{4} \cdot \sqrt{3}$

Note

↑ Questo avviene solo nella geometria euclidea, dove la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale all'angolo piatto. Dunque 180°÷3=60°

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

triangolo equilatero, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

(EN) Opere riguardanti equilateral triangle, su Open Library, Internet Archive.

(EN) Eric W. Weisstein, Equilateral Triangle, su MathWorld, Wolfram Research.

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[1] Questo avviene solo nella geometria euclidea, dove la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale all'angolo piatto. Dunque 180°÷3=60°

[1]

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