Perfectio quadri

Perfectio quadri est ars algebrae elementariae in qua possumus reponere hanc expressionem

$x^{2} + b x$

cum

$(x + c)^{2} + d$

Presse habemus:

$\begin{matrix} a x^{2} + b x + c & = & a (x^{2} + \frac{b x}{a}) + c \\ = & a (x^{2} + \frac{b x}{a} + (\frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}})) + c \\ = & a (x^{2} + 2 \frac{b x}{2 a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}) - \frac{b^{2}}{4 a} + c \\ = & a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c \end{matrix}$

Quadro perfacto, ulla formula cum quadratico polynomiale reduci ad unam cum quadratico polynomiale quadrato et constante potest.

Exemplum

Exemplum facile est:

$x^{2} + 4 x = x^{2} + 4 x + 4 - 4 = (x + 2)^{2} - 4$

Nunc, difficilius exemplum adest in hoc antiderivativum inveniendo:

$\int \frac{d x}{9 x^{2} - 90 x + 241} .$

Denominator est

$9 x^{2} - 90 x + 241 = 9 (x^{2} - 10 x) + 241.$

Addendo (10/2)² = 25 to x² - 10x dat quadrum perfectum x² - 10x + 25 = (x - 5)². Ita invenimus

$9 (x^{2} - 10 x) + 241 = 9 (x^{2} - 10 x + 25) + 241 - 9 (25) = 9 (x - 5)^{2} + 16.$

Sine integrale nostrum esse:

$\int \frac{d x}{9 x^{2} - 90 x + 241} = \frac{1}{9} \int \frac{d x}{(x - 5)^{2} + (4 / 3)^{2}} = \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{4} \arctan \frac{3 (x - 5)}{4} + C .$

Nexus interni

Nexus externus

Perfectio quadri apud PlanetamMathematicam