Derivata

Fil-Matematika id-derivata ta' funzjoni hija, mal-integral, waħda mill-kolonni tal-analisi matematika u tal-kalkulu infiniteżmali.

Nistgħu nifhmu b'mod sempliċi x'inhi d-derivata jekk inħarsu lejn it-tifsira ġometrika tagħha: ġometrikament id-derivata ta' funzjoni $f$ f' punt $x_{0}$ hija l-kejl tal-pendil tal-linja dritta tanġenti mal-kurva rappreżentata mill-grafiku tal-funzjoni fil-punt $(x_{0}, f (x_{0}))$ , jiġifieri, it-tanġent trigonometriku tal-angolu bejn il-linja dritta tanġenti u l-assi orizzontali.

Fil-każ ta' funzjonijiet ta' varjabbli waħda, derivabbli fid-dominju kollu tagħhom, jew almenu f'intervall ta' dan, b'operazzjonijiet alġebrin niksbu funzjoni ġdida li tirrappreżenta d-derivata mal-varjazzjoni ta' $x$ . Din hi li nfissru s-soltu meta nitħaddtu ġenerikament fuq id-derivata ta' funzjoni, għax hi unika apparti mis-sinjal, li jiddipendi mid-direzzjoni li nkunu qed nikkonsidraw fid-derivazzjoni ('l quddiem jew lura).

Fil-każ ta' funzjonijiet ta' aktar varjabbli indipendenti din l-uniċità tintilef, għaliex in-numru ta' direzzjonijiet li fihom nistgħu nikkalkulaw ir-rapport inkrementali ma jibqgħax iżjed tnejn imma jsir infinit: ma jibqgħax possibli li niddefinixxu funzjoni waħda tal-istess varjabbli indipendenti li tagħti r-rapporti inkrementali kollha possibbli tal-funzjoni. Għalhekk neħtieġu d-derivati parzjali tal-funzjoni, li meta nikkombinawhom linjarment jagħtuna r-rapport inkrementali tal-funzjoni f'kull direzzjoni li rridu.

Definizzjoni u notazzjoni

Fl-analisi matematika d-derivata ta' funzjoni reali ta' varjabbli reali $f$ fil-punt $x_{0}$ hi definita bħala l-limitu tar-rapport inkrementali meta l-inkrement $h$ jersaq lejn 0, taħt l-ipoteżi li dak il-limitu jeżisti u hu finit.

Iżjed preċiż, jekk ikollna funzjoni $f$ definita f'inħawija ta' $x_{0}$ ngħidu li hi derivabbli fil-punt $x_{0}$ jekk jeżisti u hu finit dan il-limitu:

lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}

Il-valur ta' dan il-limitu, indikat normalment b' $f^{'} (x_{0})$ , ngħidulu d- derivata tal-funzjoni fil-punt $x_{0}$ . Jekk il-funzjoni $f$ hi derivabbli f'kull punt tal-intervall $(a, b)$ , ngħidu li hi derivabbli f' $(a, b)$ , u l- funzjoni $f^{'}$ li tassoċja ma' kull punt $x$ id-derivata ta' $f$ f' $x$ , insejħulha l-funzjoni derivata ta' $f$ .

Id-derivata fil-punt $x_{0}$ nistgħu nindikawaha b'wieħed minn dawn is-simboli:

$f^{'} (x_{0}),$ skont in-notazzjoni ta' Lagrange.

$D [f (x_{0})],$ skont in-notazzjoni ta' Cauchy.

$\frac{d f (x_{0})}{d x,}$ skont in-notazzjoni ta' Leibniz: l-ewwel li dehret storikament hi $(\frac{d f}{d x})_{(x_{0})},$ .

$\dot{f} (x_{0}),$ skont in-notazzjoni ta' Newton.

Derivata mill-lemin u mix-xellug

Jissejjaħ derivata mill-lemin ta' $f$ f' $x_{0}$ il-limitu:

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}$

Jissejjaħ derivata mix-xellug ta' $f$ f' $x_{0}$ il-limitu:

$lim_{h \to 0^{-}} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}$

Funzjoni hi derivabbli f' $x$ jekk u biss jekk id-derivati mill-lemin u mix-xellug jeżistu u għandhom l-istess valur.

Permezz tad-derivati mill-lemin u mix-xellug nistgħu niddefinixxu d-derivabbiltà fuq intervall mhux miftuħ: pereżempju jekk $f$ hi definita f'l-intervall magħluq $[a, b]$ , ngħidu li $f$ hi derivabbli f' $[a, b]$ jekk hi derivabbli f'kull punt intern $x$ ta' $(a, b)$ , u jekk jeżistu d-derivati mill-lemin u mix-xellug rispettivament fit-truf $x = a$ u $x = b$ .

Tifsira ġometrika tad-derivata

Il-linja dritta ħamra hi t-tanġent mal-funzjoni *f(x)* fil-punt x₀

Il-valur tad-derivata ta' $f$ ikkalkulat f' $x_{0}$ għandu sinjifikat ġometriku: dan hu l-koeffiċjent angulari tal-linja dritta tanġenti mal-kurva rappreżentata mill-grafiku ta' $f$ , fil-punt bil-koordinati $(x_{0}, f (x_{0}))$ .

Fi kiem ieħor, id-derivata hi l-valur tat-tanġent trigonometriku tal-angolu li l-linja dritta tanġenti mal-kurva fil-punt $(x_{0}, f (x_{0}))$ tifforma mal-assi tal-axissi.

L-ekwazzjoni tal-linja dritta tanġenti f' $x_{0}$ hija:

$y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) .$

Iżjed preċiż, jekk $f$ hi derivabbli fil-punt $x_{0}$ , teżisti funzjoni $o (x - x_{0})$ definita f'inħawija ta' $x_{0}$ tali li:

$f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + o (x - x_{0})$

fejn

$lim_{x \to x_{0}} \frac{o (x - x_{0})}{x - x_{0}} = 0.$

Ngħidu li $o (x - x_{0})$ hu infiniteżmu ta' ordni ogħla mill-funzjoni $x - x_{0}$ . B'din irridu nesprimu l-idea li t-termini $o (x - x_{0})$ jagħti kontribut li nistgħu nittraskurawh jew inħalluh barra kkomparat mat-termini l-oħra meta nersqu lejn $x_{0}$ .

Niddefinixxu $o (x - x_{0})$ b'l-istess dominju ta' $f$ , bħala:

o (x - x_{0}) = f (x) - f (x_{0}) - f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

u nivverifikaw li:

lim_{x \to x_{0}} \frac{o (x - x_{0})}{x - x_{0}} = lim_{x \to x_{0}} (\frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} - f^{'} (x_{0})) . (1)

Niftakru li għal : $x \to x_{0}$ għandna : $x - x_{0} \to 0$ mela : $h = x - x_{0} .$

Meta nissostitwixxu din l-aħħar ugwaljanza f'(1) ikollna:

lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} - f^{'} (x_{0}) = 0

u nikkonfermaw it-teżi.

Teorema tal-kontinwità

Teorema: Teorema tal-kontinwità

It-teorema jgħid li jekk $f$ tkun derivabbli f' $x_{0}$ imbagħad tkun ukoll kontinwa f' $x_{0}$ .

Inwiddbu li l-kuntrarju mhux dejjem veru: pereżempju, il-funzjoni $f (x) = | x |$ hi kontinwa fuq id-dominju kollu, imma mhux derivabbli fil-punt $x = 0$ , għaliex id-derivata tal-lemin mhux l-istess bħal tax-xellug.

Prova tat-Teorema:

Il-prova tiġi mill-ugwaljanza ta' qabel:

f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + o (x - x_{0})

minn fejn niksbu:

lim_{x \to x_{0}} f (x) = lim_{x \to x_{0}} (f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + o (x - x_{0}) = f (x_{0})) .

Għalhekk il-funzjoni hi kontinwa f' $x_{0}$ .

Funzjonijiet mhux derivabbli

Funzjoni kontinwa tista' tkun non-derivabbli. Fost il-fenomeni li jistgħu iġegħlu ‘l-funzjoni ma tkunx kontinwa, hemm dawn li ġejjin:

punt angoluż,
kuspidi jew qarsa,
fless bit-tanġent vertikali,

Jeżistu wkoll funzjonijiet kontinwi li jieħdu forom iżjed komplessi ta' non-derivabbiltà, pereżempju l-funzjoni ta' Cantor.

L- $n$ -il Derivata

L-" $n$ -il derivata", $f^{(n)}$ , ta' funzjoni $f$ hi l-funzjoni li niksbu meta nidderivaw il-funzjoni $n$ darbiet waħda wara l-oħra. Għalhekk ngħidu it-tieni derivata, it-tielet derivata, il-ħmistax-il derivata etc... u nużaw din in-notazzjoni:

f^{″} = f^{(2)} = \frac{d^{2} f}{d x^{2}},

f^{‴} = f^{(3)} = \frac{d^{3} f}{d x^{3}},

,

...

f^{(n)} = \frac{d^{n} f}{d x^{n}}

Funzjoni li hi derivabbli mhux bilfors hi derivabbli $n$ -il darba: Pereżempju din il- funzjoni għandha l-ewwel derivata imma m'għandhiex it-tieni:

f (x) = x | x | .

Infatti id-derivata ta' $f$ hi $f^{'} (x) = 2 | x |$ , li minn naħa tagħha mhijiex derivabbli.

Teoremi

Hawn taħt nagħtu xi ftit teoremi u riżultati importanti.

Teorema ta' Fermat

Teorema: Teorema ta' Fermat

Jekk il-funzjoni $f$ tkun derivabbli, u allura kontinwa, f'punt $x_{0}$ fl-intern tad-dominju ta' $f$ li jkun punt massimu jew minimu tal-funzjoni, imbagħad id-derivata tal-funzjoni f' $x_{0}$ tkun nulla, jiġifieri $f^{'} (x_{0}) = 0$ .

Dan it-teorema jintuża ħafna fi tfittxija ta' punti ta' massimu jew ta' minimu fejn il-funzjoni derivata hi nulla. Kull punt $x$ fejn $f^{'} (x)$ hi żero ngħidulu punt stazzjonarju. Allura il-punti ta' massimu u ta' minimu huma stazzjonarji.

Osservazzjonijiet:

hu neċessarju li $x_{0}$ tkun punt ġewwieni tad-dominju
il-funzjoni trid tkun derivabbli fil-punt $x_{0}$ , inkella t-teorema ma jagħmilx sens.

Prova:
Biex niffissaw l-idejat, ejjew nissoponu li $x_{0}$ hu punt ta' massimu u għalhekk $f (x_{0})$ hu valur massimu tal-funzjoni f' $(a, b)$ ; il-prova hija l-istess fil-każ li $x_{0}$ jkun punt ta' minimu għal $f$ .
Inħarsu lejn ir-rapport inkrementali: $\frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} .$
In-numeratur $f (x) - f (x_{0}) \leq 0 \forall x \in (a, b)$ għaliex, bl-ipoteżi, $x_{0}$ hu punt ta' massimu u għalhekk $f (x_{0}) \geq f (x) \forall x \in (a, b)$ .

Mela nistgħu ngħidu li :

$\frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} \geq 0$ jekk $x < x_{0}$ , għax in-numeratur hu dejjem negattiv jew null u d-denominatur hu dejjem negattiv;
$\frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} \leq 0$ jekk $x > x_{0}$ , għax in-numeratur hu dejjem negattiv jew null u d-denominatur hu dejjem pożittiv.

Isegwi, bit-teorema tal-permanenza tas-sinjal li:

$f^{'} (x_{0}^{-}) = lim_{x \to x_{0}^{-}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} \geq 0,$
$f^{'} (x_{0}^{+}) = lim_{x \to x_{0}^{+}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} \leq 0.$

Imma bl-ipoteżi, il-funzjoni $f$ hi derivabbli f' $x_{0}$ u għalhekk il-limitu tar-rapport inkrementali f' $x_{0}$ jeżisti u hu finit. Allura jrid ikun fl-istess ħin $\leq 0$ u $\geq 0$ , u mela hu null, kif ridna nuru.

Teorema ta' Rolle

Teorema: Teorema ta' Rolle

Ħalli

f

tkun funzjoni kontinwa fl-intervall magħluq

[a, b]

u derivabbli fl-intervall miftuħ

(a, b)

. Jekk

f (a) = f (b)

,imbagħad jeżisti punt

x_{0}

ġewwa l-intervall miftuħ

(a, b)

fejn l-ewwel derivata tkun nulla,

f^{'} (x_{0}) = 0

.

Teorema ta' Lagrange

Teorema: Teorema ta' Lagrange

Ħalli $f$ tkun funzjoni kontinwa f' $[a, b]$ u derivabbli f' $(a, b)$ , imbagħad jeżisti mill-inqas punt wieħed $x_{0}$ ġewwa $(a, b)$ li għalih:

$f^{'} (x_{0}) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} .$

Il-teorema jgħid li jeżisti mill-inqas punt wieħed tal-grafiku tal-funzjoni, $(x_{0}, f (x_{0}))$ , fejn il-linja dritta tanġenti għandha koeffiċjent angulari daqs dak tal-korda dritta li tgħaddi mill-punti $(a, f (a))$ u $(b, f (b))$ .

Dan it-teorema hu ġeneralizzazzjoni ta' dak ta qabel fis-sens li jħares lejn il-każ fejn $f (a)$ hi differenti minn $f (b)$ ; jekk $f (a)$ hi daqs $f (b)$ nerġgħu niksbu it-Teorema ta' Rolle.

Teorema ta' Cauchy

Teorema: Teorema ta' Cauchy

Ħalli

f

u

g

jkunu funzjonijiet kontinwi f'

[a, b]

u derivabili f'

(a, b)

u

g (x)

differenti minn 0 għal kull punt tal-intervall, imbagħad jeżisti mill-inqas punt wieħed

x_{0}

li qiegħed f'

(a, b)

li għalih:

$\frac{f^{'} (x_{0})}{g^{'} (x_{0})} = \frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} .$

Jekk inpoġġu $g (x) = x$ , niksbu mill-ġdid it-teorema ta' Lagrange.

Teorema żdieda-tinqis

Teorema: Teorema żdieda-tinqis

Jekk $f$ tkun kontinwa f' $[a, b]$ u derivabbli f' $(a, b)$ , imbagħad :

$\forall x \in (a, b) f^{'} (x) \geq 0$ jekk u biss jekk il-funzjoni tiżdied f' $(a, b)$ ,

$\forall x \in (a, b) f^{'} (x) \leq 0$ jekk u biss jekk il-funzjoni tonqos f' $(a, b)$ .

Jista' jkun li l-funzjoni ma tiżdidx (jew ma tonqosx) strettament. It-teorema hi konsegwenza diretta tat-teorema ta' Lagrange.

Għandna wkoll:.

Jekk $\forall x \in (a, b) f^{'} (x) > 0$ , il-funzjoni tiżdied strettament f' $(a, b)$

Jekk $\forall x \in (a, b) f^{'} (x) < 0$ , il-funzjoni tonqos strettament f' $(a, b)$

Funzjoni li tiżdied strettament mhux bilfors ikollha derivata kullimkien posittiva. Pereżempju

f (x) = x^{3}

hi tiżdied strettament, imma għandha derivata nulla fl-oriġini (fejn hemm punt ta' fless).

Teorema tal-funzjoni kostanti

Teorema: Teorema tal-funzjoni kostanti

Funzjoni hi kostanti fl-intervall $[a, b]$ jekk u biss jekk hi derivabbli u d-derivata hi kullimkien nulla fl-intervall.

Derivata ta' funzjonijiet vettorjali

Funzjoni vettorjali ngħidulha derivabbli fil-punt $x$ jekk jeżisti u hu finit il-limitu

𝐟^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{𝐟 (x + h) - 𝐟 (x)}{h} .

Billi l-argument tal-limitu hu vettur, ir-riżultat hu wkoll vettur. Infatti d-derivata ta' $f$ hi l-vettur magħmul mid-derivati tal-komponenti tagħha:

𝐟^{'} (x) = (f'_{1} (x), f'_{2} (x), ..., f'_{n} (x))

.

Derivabbiltà f' $ℝ^{n}$

Funzjoni $f$ ngħidulha derivabbli f' $ℝ^{n}$ jekk jeżistu u huma finiti d-derivati parzjali tagħha kollha.

Konvessità

Ħalli $f : [a, b] \to ℝ$ tkun derivabbli. Ngħidu li l-funzjoni $f$ hi:

konvessa f' $[a, b]$ jekk $\forall x_{0} \in [a, b]$ il-grafiku tal-funzjoni f' $[a, b]$ jibqa' dejjem taħt il-linja dritta tanġenti fil-punt $(x_{0}, f (x_{0}))$ .

Bis-simboli:

$f (x) \geq f (x_{0}) + f^{'} (x) (x - x_{0}) \forall x, x_{0} \in [a, b] .$

konkava f' $[a, b]$ jekk $\forall x_{0} \in [a, b]$ il-grafiku tal-funzjoni f' $[a, b]$ jibqa' dejjem 'l fuq mill-linja dritta tanġenti fil-punt $(x_{0}, f (x_{0}))$ .

Bis-simboli:

$f (x) \leq f (x_{0}) + f^{'} (x) (x - x_{0}) \forall x, x_{0} \in [a, b] .$

Derivata ta' serje ta' potenzi

Funzjoni li nistgħu niktbuha bħala serje ta' potenzi $f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ b' raġġ ta' konvergenza $r$ , hi derivabbli fuq l-intervall $(- r, r)$ kollu. Id-derivata nistgħu nikkalkulawha billi nidderivaw is-serje terminu terminu b'dan il-mod:

f^{'} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} x^{n - 1}

Dan it-tip ta' derivata hu importanti għall-iżvilupp ta' Taylor u McLaurin.

Derivata formali

Fit-teorija taċ-ċrieki nintroduċu l-idea ta' derivata formali bħala l-operatur $\partial$ li jissodisfa:

$\partial (u + v) = \partial u + \partial v$ (l-operazzjoni hi linjari)
$\partial (u \cdot v) = u \cdot \partial v + \partial u \cdot v$ (ir-regola ta' Leibniz).

Pereżempju bħala applikazzjoni hemm id-derivata formali ta' polinomju, sfruttata, fost postijiet oħra, fil-ġometrija alġebrija.

Portal Matematika