Elipsa

Za stilsku figuru, pogledajte Elipsa (književnost)

Elipsa (starogrč. ἔλλειψις, nedostatak) je u matematici kriva zatvorena linija u ravni, koja se može defniisati kao geometrijsko mesto tačaka čiji je zbir rastojanja od dve fiksirane tačke uvek jednak. Ove dve tačke se još nazivaju fokusima elipse, a tačka koja se nalazi tačno između njih je centar elipse.

Elipsa ima dva prečnika (poluprečnika) koji predstavljaju minimalno i maksimalno rastojanje njenih tačaka od njenog centra.

Ose elipse su prave koje sadrže njene prečnike. Prva prolazi kroz obe fokusne tačke, a druga prolazi kroz njen centar, i normalna je na prvu.

Ukoliko su fokusne tačke elipse jedna te ista tačka, radi se o specijalnom slučaju elipse, koji se naziva krug.

Analitička definicija

Analitički posmatrano, elipsa je kriva drugog reda:

f (x, y) = α_{11} x^{2} + 2 α_{12} x y + α_{22} y^{2} + 2 α_{13} x + 2 α_{23} y + α_{33} = 0

(opšta jednačina krive drugog reda)

Koja zadovoljava sledeće uslove:

$Δ = | \begin{matrix} α_{11} & α_{12} & α_{13} \\ α_{12} & α_{22} & α_{23} \\ α_{13} & α_{23} & α_{33} \end{matrix} | \neq 0$
$δ = | \begin{matrix} α_{11} & α_{12} \\ α_{12} & α_{22} \end{matrix} | > 0$
Za realnu elipsu: $T \cdot Δ = (α_{11} + α_{22}) \cdot Δ < 0$
Za imaginarnu elipsu (prazan skup): $T \cdot Δ > 0$

Ukoliko su ose elipse paralelne sa osama dekartovog koordinatnog sistema, ova jednačina izgleda ovako:

α_{11} x^{2} + α_{22} y^{2} - α_{33} = 0

Što se može zapisati i kao

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

U ovoj jednačini su a i b u stvari veličine poluprečnika elipse.

Površina

Površina elipse je:

P = a b π

gde su a i b poluprečnici elipse, a pi matematička konstanta.

Ekscentricitet

Ekscentricitet je konstanta karakterisitična za svaku elipsu. Predstavlja minimalno rastojanje fokusne tačke elipse od elipse, duž ose. Izračunava se kao:

e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}}

gde su a i b dužine poluprečnika elipse. Ukoliko se sa c označi rastojanje između jedne fokusne tačke elipse od centra, e će biti:

e = \frac{c}{a}

Obim

Obim elipse se može predstaviti na razne načine:

Beskonačni redovi:

O = 2 π a [1 - {(\frac{1}{2})}^{2} e^{2} - {(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4})}^{2} \frac{e^{4}}{3} - {(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6})}^{2} \frac{e^{6}}{5} - \dots]

Što je isto što i:

O = 2 π a \sum_{n = 0}^{\infty} {- {[\prod_{m = 1}^{n} (\frac{2 m - 1}{2 m})]}^{2} \frac{e^{2 n}}{2 n - 1}}

Dobru aproksimaciju ove vrednosti je napravio Ramanudžan:

O \approx π [3 (a + b) - \sqrt{(3 a + b) (a + 3 b)}]

Koja se takođe može zapisati kao:

O \approx π a [3 (1 + \sqrt{1 - e^{2}}) - \sqrt{(3 + \sqrt{1 - e^{2}}) (1 + 3 \sqrt{1 - e^{2}})}]

U specijalnom slučaju, kada je manja osa duplo manja od veće ose, važi:

O \approx π a (9 - \sqrt{35}) / 2