Diagonalna matrika

Diagonalna matrika je kvadratna matrika v kateri so vsi elementi zunaj glavne diagonale enaki 0. Pri tem pa so elementi diagonale enaki nič ali pa tudi ne.

Za matriko $D$ z elementi $d_{i j}$ to pomeni

d_{i, j} = 0 kadar je i \neq j \forall i, j \in {1, 2, \dots, n} .

.

Diagonalno matriko lahko zapišemo tudi kot

a_{i j} = a_{i} δ_{i j}

,

kjer je

$δ_{i j}$ Kroneckerjeva delta.

Diagonalne matrike tudi označujemo malo drugače. Zgornjo matriko lahko zapišemo tudi kot:

D = d i a g (d_{11}, d_{22,} \dots, d_{n n}) = [\begin{matrix} d_{11} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & d_{22} & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ 0 & \dots & 0 & d_{n n} \end{matrix}]

.

Enotska matrika je simetrična matrika.

Zgledi

Primer diagonalne matrike

D = [\begin{matrix} d_{11} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & d_{22} & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & a_{n n} \end{matrix}],

Primeri nekaterih posebnih diagonalnih matrik.

Ničelna matrika

0 = d i a g {0, 0, \dots, 0} = [\begin{matrix} 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & 0 \end{matrix}],

ter enotska matrika

E = d i a g {1, 1, \dots, 1} = [\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix}],

Značilnosti

Diagonalna matrika je simetrična, ker zanjo velja

D^{T} = D

.

Rang diagonalne matrike je enak številu neničelnih elementov, ki se nahajajo na glavni diagonali
Determinanta diagonalne matrike je enak zmnožku elementov na glavni diagonali.

Skalarna matrika

Diagonalna matrika, ki ima na diagonali vse elemente enake, se imenuje skalarna matrika. Dobimo jo z množenjem skalarja z enotsko matriko. Primer:

[\begin{matrix} λ & 0 & 0 \\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{matrix}] .

.

Inverzna matrika diagonalne

Diagonalna matrika

d i a g (a_{1}, a_{2}, ..., a_{k}) = (\begin{matrix} a_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & a_{2} & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ 0 & \dots & 0 & a_{k} \end{matrix})

ima inverzno obliko

A^{- 1} = (\begin{matrix} 1 / a_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 / a_{2} & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ 0 & \dots & 0 & 1 / a_{k} \end{matrix})

.

Pravokotne matrike

Pojem diagonalna matrika lahko (zelo redko) razširimo tudi na pravokotne matrike, ki imajo $m \times n$ elementov. Dva zgleda takšnih matrik:

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

in:

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 & 0 \end{matrix}] .

.

Zunanje povezave

Diagonalna matrika na MathWorld (angleško)

p p u Razredi in vrste matrik
Z izrecno omejenimi elementi	izmenična antidiagonalna antisimetrična puščičasta pasovna bidiagonalna bisimetrična bločna diagonalna bločna bločna tridiagonalna Boolova Cauchyjeva centrosimetrična konferenčna kompleksna Hadamardova kopozitivna diagonalno dominantna diagonalna diskretna Fourierova transformiranka elementarna ekvivalentna Frobeniusova posplošena permutacijska Hadamardova Hankelova hermitska Hessenbergova votla celoštevilska Kravčukove binarna enota Metzlerjeva Mooreova nenegativna pentadiagonalna permutacijska persimetrična podobna polinomska kvaternionska označna poševnohermitska poševnosimetrična spremenljiva pasovna redka Sylvestrova simetrična Toeplitzeva trikotna tridiagonalna Vandermondova Walsheva Z
Konstantne	zamenjevalna Hilbertova enotska Lehmerjeva matrika enic Pascalova Paulijeve Redhefferjeva premaknjena ničelna
S pogoji lastnih vrednosti ali vektorjev	spremljevalna konvergentna nepopolna definitna diagonalizabilna Hurwitzeva pozitivno definitna Stieltjesova
Z izpolnjujočimi pogoji za produkte ali inverze	kongruentnost idempotentnost ali projekcija obratnost obrnljivost involutarnost nilpotentnost normalnost ortogonalnost unimodularnost unipotentnost unitarnost totalna unimodularnost uteženost
S posebnimi uporabami	adjungirana s spremenljivimi predznaki razširjena Bézoutova Carlemanova Cartanova krožna kofaktorska komutacijska zmedenostna Coxeterjeva razdaljna podvojitvene / izločilne evklidskih razdalj fundamentalna (linearna diferencialna enačba) generatorska Gramova Hessejeva Householderjeva Jacobijeva momentna izplačilna Pickova slučajna vrtilna Routh-Hurwitzeva Seifertova strižna podobnostna simplektična polno pozitivna preslikavna
Uporabljene v statistiki	centrirana korelacijska kovariančna oblikovalska dvojno stohastična Fisherjeve informacije projekcijska natančnostna stohastična tranzicijska
Uporabljene v teoriji grafov	sosednostna simplektična bisosednostna stopenjska Edmondsova incidenčna Laplaceova Seidelova sosednostna Tuttejeva
Uporabljene v znanosti in inženiringu	CKM gostotna fundamentalna (računalniški vid) mehkoasociativna DIracove matrike Gell-Mannove Hamiltonova nepravilna prekrivalna S prehodov stanja nadomestitvena Z (kemija)
Sorodni pojmi	Jordanova normalna forma linearna neodvisnost eksponent reprezentacija stožnica popolna psevdoinverzna forma vrstičnega ešalona wrońskian bohemijska
seznam matrik kategorija:matrike