Jacobipolynom

Inom matematiken är Jacobipolynomen en viktig klass ortogonala polynom. De introducerades av Carl Gustav Jacob Jacobi. Flera andra ortogonala polynom är specialfall av dem, däribland Gegenbauerpolynomen, Legendrepolynomen, Zernikepolynomen samt Tjebysjovpolynomen.

Definitioner

Jacobipolynomen kan definieras via hypergeometriska funktionen enligt

P_{n}^{(α, β)} (z) = \frac{(α + 1)_{n}}{n!}_{2} F_{1} (- n, 1 + α + β + n; α + 1; \frac{1 - z}{2})

där $(α + 1)_{n}$ är Pochhammersymbolen. Ett ekvivalent uttyck är

P_{n}^{(α, β)} (z) = \frac{Γ (α + n + 1)}{n! Γ (α + β + n + 1)} \sum_{m = 0}^{n} (\binom{n}{m}) \frac{Γ (α + β + n + m + 1)}{Γ (α + m + 1)} {(\frac{z - 1}{2})}^{m} .

En alternativ definition ges av Rodirgues formel

P_{n}^{(α, β)} (z) = \frac{(- 1)^{n}}{2^{n} n!} (1 - z)^{- α} (1 + z)^{- β} \frac{d^{n}}{d z^{n}} {(1 - z)^{α} (1 + z)^{β} (1 - z^{2})^{n}} .

P_{0}^{(α, β)} (z) = 1

P_{1}^{(α, β)} (z) = \frac{1}{2} [2 (α + 1) + (α + β + 2) (z - 1)]

P_{2}^{(α, β)} (z) = \frac{1}{8} [4 (α + 1) (α + 2) + 4 (α + β + 3) (α + 2) (z - 1) + (α + β + 3) (α + β + 4) (z - 1)^{2}]

Jacobipolynomen satisfierar ortogonalitetsrelationen

\int_{- 1}^{1} (1 - x)^{α} (1 + x)^{β} P_{m}^{(α, β)} (x) P_{n}^{(α, β)} (x) d x = \frac{2^{α + β + 1}}{2 n + α + β + 1} \frac{Γ (n + α + 1) Γ (n + β + 1)}{Γ (n + α + β + 1) n!} δ_{n m}

för α, β > −1.

Jacobipolynomen satisfierar symmetrirelationen

P_{n}^{(α, β)} (- z) = (- 1)^{n} P_{n}^{(β, α)} (z);

Jacobipolynomens kte derivata ges av

\frac{d^{k}}{d z^{k}} P_{n}^{(α, β)} (z) = \frac{Γ (α + β + n + 1 + k)}{2^{k} Γ (α + β + n + 1)} P_{n - k}^{(α + k, β + k)} (z) .

Jacobipolynomet P_n^{(α, β)} är en lösning av andra ordningens linjära homogena differentialekvation

(1 - x^{2}) y^{″} + (β - α - (α + β + 2) x) y^{'} + n (n + α + β + 1) y = 0.

Jacobipolynomen satisfierar differensekvationen

\begin{matrix} 2 n (n + α + β) (2 n + α + β - 2) P_{n}^{(α, β)} (z) = \\ = (2 n + α + β - 1) {(2 n + α + β) (2 n + α + β - 2) z + α^{2} - β^{2}} P_{n - 1}^{(α, β)} (z) - 2 (n + α - 1) (n + β - 1) (2 n + α + β) P_{n - 2}^{(α, β)} (z), \end{matrix}

för n = 2, 3, ....

Jacobipolynomens genererande funktion ges av

\sum_{n = 0}^{\infty} P_{n}^{(α, β)} (z) w^{n} = 2^{α + β} R^{- 1} (1 - w + R)^{- α} (1 + w + R)^{- β}

där

R = R (z, w) = {(1 - 2 z w + w^{2})}^{\frac{1}{2}} .

P_{n}^{(α, β)} (1) = (\binom{n + α}{n})

P_{n}^{(α, β)} (- 1) = (- 1)^{n} (\binom{n + β}{n})

Jacobipolynomen satisfierar

\begin{matrix} lim_{n \to \infty} n^{- α} P_{n}^{(α, β)} (\cos \frac{z}{n}) & = {(\frac{z}{2})}^{- α} J_{α} (z) \\ lim_{n \to \infty} n^{- β} P_{n}^{(α, β)} (\cos [π - \frac{z}{n}]) & = {(\frac{z}{2})}^{- β} J_{β} (z) \end{matrix} .

En annan formel är

P_{n}^{(α, β)} (\cos θ) = \frac{\cos ([n + (α + β + 1) / 2] θ - [2 α + 1] π / 4)}{\sqrt{π n} {[\sin (θ / 2)]}^{α + 1 / 2} {[\cos (θ / 2)]}^{β + 1 / 2}} + 𝒪 (n^{- 3 / 2}), 0 < θ < π .

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Jacobi polynomials, 4 december 2013.