Radrum

Radrummet till en matris är i linjär algebra alla möjliga linjärkombinationer av matrisens radvektorer. Radrummet till en m × n-matris är ett underrum till ett n-dimensionellt vektorrum.

Radrummet och kolonnrummet har alltid samma dimension, denna dimension kallas matrisens rang.

Definition

Låt A vara en m × n-matris med radvektorerna $𝐫_{1}, 𝐫_{2}, ..., 𝐫_{m}$ , då en linjärkombination av dessa vektorer är en vektor på formen

𝐯 = a_{1} 𝐫_{1} + a_{2} 𝐫_{2} + ... + a_{m} 𝐫_{m}

där $a_{1}, a_{2}, ..., a_{m}$ är skalärer. Mängden av alla linjärkombinationer är radrummet till matrisen. Annorlunda uttryckt spänner radvektorerna i matrisen upp matrisens radrum.

Bas för radrum

En bas för radrummet till en m × n-matris kan fås genom att reducera matrisen till en trappstegsmatris och sedan plocka ut de nollskilda raderna.

Exempel

Om man vill ha en bas till radrummet till matrisen

A = (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \end{matrix})

reducerar man den till trappstegsform:

(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 4 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

och får att radrummet spänns upp av vektorerna $(1, 2, 1)$ och $(0, 1, 4)$ .

Relation till nollrummet

Nollrummet till en matris är de vektorer som avbildas på en nollvektor av matrisen, med andra ord är en vektor $𝐱$ i matrisen A:s nollrum om $A 𝐱 = 0$ . Från reglerna för matrismultiplikation följer det att $A 𝐱 = 0$ om och endast om skalärprodukten av $𝐱$ med varje radvektor $𝐫_{1}, 𝐫_{2}, ..., 𝐫_{m}$ är noll, dvs:

⟨ 𝐱 | 𝐫_{i} ⟩ = 0 1 \leq i \leq m .

Med andra ord är vektorerna i nollrummet ortogonala mot vektorerna i radrummet, så att radrummet är det ortogonala komplementet till nollrummet.