Chern-Simons-Form

Die Chern-Simons-Formen sind bei der Definition von sekundären charakteristischen Klassen verwendete Differentialformen, die in der Mathematik in Differentialgeometrie und Differentialtopologie in verschiedenen Zusammenhängen vorkommen, insbesondere in Eichtheorien. Die Chern-Simons-3-Form definiert das Wirkungsfunktional der Chern-Simons-Theorie. Sie sind benannt nach Shiing-Shen Chern und James Harris Simons, den Autoren der 1974 veröffentlichten Arbeit Characteristic Forms and Geometric Invariants.

Definition

Sei M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Der Riemannsche Zusammenhang

A \in Ω^{1} (P (M), 𝔤 𝔩 (n))

ist eine Lie-Algebra-wertige 1-Form auf dem Rahmenbündel $P (M)$ .

Die Chern-Simons-1-Form wird definiert durch

Tr [𝐀]

,

wobei Tr die Spur von Matrizen bezeichnet.

Die Chern-Simons-3-Form wird definiert durch

Tr [𝐅 \land 𝐀 - \frac{1}{3} 𝐀 \land 𝐀 \land 𝐀] .

Die Chern-Simons-5-Form wird definiert durch

Tr [𝐅 \land 𝐅 \land 𝐀 - \frac{1}{2} 𝐅 \land 𝐀 \land 𝐀 \land 𝐀 + \frac{1}{10} 𝐀 \land 𝐀 \land 𝐀 \land 𝐀 \land 𝐀]

wobei die Krümmung $𝐅$ definiert ist durch

𝐅 = d 𝐀 + 𝐀 \land 𝐀 .

Die allgemeine Chern-Simons-Form $ω_{2 k - 1}$ ist definiert, so dass

d ω_{2 k - 1} = Tr (𝐅^{k}),

wobei $𝐅^{k}$ durch das äußere Produkt von Differentialformen definiert wird.

Falls $M$ eine parallelisierbare 2k-1-dimensionale Mannigfaltigkeit ist (zum Beispiele eine orientierbare 3-Mannigfaltigkeit), dann gibt es einen Schnitt $s : M \to P (M)$ und das Integral von $s^{*} ω_{2 k - 1}$ über die Mannigfaltigkeit $M$ ist eine globale Invariante, die modulo der Addition ganzer Zahlen wohldefiniert ist. (Für verschiedene Schnitte unterscheiden sich die Integrale nur um ganze Zahlen.) Die so definierte Invariante ist die Chern-Simons-Invariante

cs (M) \in ℝ / ℤ

.

Allgemeine Definition für Prinzipalbündel und invariante Polynome

Sei $G$ eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra $𝔤$ und $f \in I^{k} (𝔤)$ ein invariantes Polynom.

Jedem invarianten Polynom $f$ entspricht eine Chern-Simons-Form von $G$ -Prinzipalbündeln wie folgt.

Sei $π : P \to M$ ein Prinzipalbündel mit Strukturgruppe $G$ . Man wähle eine Zusammenhangsform $ω \in Ω^{1} (P, 𝔤)$ und bezeichne mit $Ω \in Ω^{2} (P, 𝔤)$ ihre Krümmungsform. Dann ist die Chern-Simons-Form $T f \in Ω^{2 k - 1} (P, ℝ)$ definiert durch

T f = \sum_{i = 0}^{k - 1} A_{i} f (ω \land [ω, ω]^{i} \land Ω^{k - i - 1})

mit $A_{i} := (- 1)^{i} \frac{k! (k - 1)!}{2^{i} (k + i)! (k - 1 - i)!}$ .

Im Fall flacher Bündel vereinfacht sich diese Formel zu $(- 1)^{k - 1} \frac{k! (k - 1)!}{2^{k - 1} (2 k - 1)!} f (ω \land [ω, ω]^{k - 1})$ .

Es gilt die Gleichung

d T f = f (Ω, \dots, Ω)

,

im Fall flacher Bündel also $d T f = 0$ .

Bekanntlich entspricht jede charakteristische Klasse $u \in H^{*} (B G, ℤ)$ einem invarianten Polynom, siehe Chern-Weil-Theorie. Falls $f (Ω, \dots, Ω) = 0$ , dann verschwindet nach Chern-Weil-Theorie die entsprechende charakteristische Klasse $u_{f}$ in reeller Kohomologie. Die Form $T f$ ist in diesem Fall geschlossen und definiert zunächst eine Klasse in der Kohomologie von $P$ . Zurückziehen mittels eines Schnittes definiert eine Kohomologieklasse von $M$ , welche modulo ganzer Zahlen wohldefiniert ist. Die so definierte Kohomologieklasse in $H^{*} (M, ℝ / ℤ)$ passt in die Bockstein-Folge

H^{2 k - 1} (M, ℝ / ℤ) \to H^{2 k} (M, ℤ) \to H^{2 k} (M, ℝ)

,

wo sie auf die charakteristische Klasse $u_{f}$ abgebildet wird, deren Bild in reeller Kohomologie verschwindet.

Siehe auch

Quellen

Chern, S.-S.; Simons, J.: Characteristic forms and geometric invariants. The Annals of Mathematics, Second Series 99, 1974, S. 48–69.