Fourier-transformasjon

Fourier-transformasjon (ofte forkorta til FT) er ei lineæravbilding som transformerer ein funksjon av reelle variablar med komplekse verdiar til ein annan^[1]^[2]. I applikasjonar som signalhandsaming transformerer ein typisk frå tidsplanet til frekvensplanet. Dette kan samanliknast med at ein akkord i musikk kan skildrast av notane som vert spelt. Så i praksis så dekomponerer fouriertransformasjonen ein funksjon, eller eit signal, i ein sum av oscillerande funksjonar, som kan uttrykkast som $\cos$ - og $\sin$ -funksjonar, eller som ein sum av eksponentialfunksjonar.

Fourier-transformasjon og generaliseringane er emne i Fourier-analyse. Det er mogeleg å definere Fourier-transformasjonen til ein funksjon av fleire variablar, noko som til dømes er viktig i det fysiske studiet av bølgjer og biletehandsaming. Det er òg mogleg å generalisere Fourier-transformasjonen på diskrete strukturar som endelege grupper.

Definisjon

Det finst fleire vanlege måtar å definere fouriertransformasjonen av ein integrerbar funksjon. Denne artikkelen nyttar definisjonen:

X (ω) := \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t,

for

t

∈

[- \infty, \infty]

,

der $j = \sqrt{- 1}$ . Når variabelen $x (t)$ representerer tid (med SI-eininga sekund), representerer transformasjonsvariabelen $X (ω)$ vinkelfrekvens, som kan konverterast til temporal frekvens $f = ω / (2 π)$ (i Hz). Etter som Fourier-transformasjonen dekomponerer signalet $x (t)$ i frekvenskomponentar $X (ω)$ , med ulik frekvens og amplitude, vert ho kalla analyselikninga.

Invers Fourier-transformasjon

Invers transformasjon, som typisk transformerer frå frekvensplanet til tidsplanet, vert definert som^[3]

x (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} X (ω) e^{j ω t} d ω,

for alle reelle t.

Faktoren $1 / (2 π)$ er ein skaleringskonstant, som syter for at energien er den same i tids- og frekvensplanet; sjå Parsevals teorem. Etter som den inverse Fourier-transformasjonen syntiserer eit signalet $x (t)$ i tidsplanet, som ein sum av ulike oscillerande bølgjer (frekvenskomponentar) $X (ω)$ , med ulik frekvens og amplitude, vert ho kalla symteseselikninga.

Samanhengen med Laplace-transformasjonen

Fourier-transformasjonen kan sjåast på som eit spesialtilfelle av den to-sidige Laplace-transformasjonen. Laplace-transformasjonen transformerer eit signal til det komplekse $s$ -planet, der $s = σ + j ω$ er ein kompleks frekvensvariabel. I samband med Fourier-transfroma er realdelen $σ$ sett til null. slik at ein ender ein opp med den imaginære delen av frekvensvariabelen $j ω$ , som ligg på den imaginære aksen i $s$ -planet. At dei ulike Fouirer-komponentane (frekvens-komponentane) ligg på den imaginære aksen betyr at dei er periodiske. Fourier-transformasjonen er med andre ord eit speialtilfelle av Laplace-transformasjonen, som vert nytta når signalet $x (t)$ er periodiskt.

Eigenskapar

Linearitet

Fouriertransformasjonen er ei lineæravbilding:

ℱ [a f (t) + b g (t)] = a ℱ [f (t)] + b ℱ [g (t)] = a F (ω) + b G (ω)

Funksjonsprodukt og folding

For produkt av funksjonar gjeld

\begin{matrix} ℱ [f (t) * g (t)] & = F (ω) G (ω) \\ ℱ [f (t) g (t)] & = \frac{1}{2 π} F (ω) * G (ω), \end{matrix}

her markerer $*$ ein foldingsoperator (konvolusjon).

Tids- og frekvensforskyving

\begin{matrix} ℱ [f (t - T)] & = e^{- i ω T} F (ω) \\ ℱ [e^{i Ω t} f (t)] & = F (ω - Ω) . \end{matrix}

Derivasjon

For deriverte av funksjonar gjeld

\begin{matrix} ℱ [\frac{d^{(n)} f (t)}{d t^{(n)}}] & = (i ω)^{(n)} F (ω) \\ ℱ [(- i t)^{n} f (t)] & = \frac{d^{(n)} F (ω)}{d ω^{(n)}} . \end{matrix}

Referansar

↑ Champeney, D.C., A handbook of Fourier theorems, Cambridge University Press, 1987.
↑ Bracewell, R.N., The Fourier transform and its applications, McGraw-Hill, 1986.
↑ Dyke, P.P.G., An introduction to Laplace transforms and Fourier series, Springer, 2001.

[1] Champeney, D.C., A handbook of Fourier theorems, Cambridge University Press, 1987.

[2] Bracewell, R.N., The Fourier transform and its applications, McGraw-Hill, 1986.

[3] Dyke, P.P.G., An introduction to Laplace transforms and Fourier series, Springer, 2001.

[1]

[2]

[3]